Problema 1 · Matemáticas UAB 2020

1. L'equació diferencial

En genètica de poblacions s'empra el model diferencial següent per analitzar la propagació d'un al·lel amb major eficàcia biològica ($A$) en una població haploide respecte d'un al·lel menys adaptat ($a$):

$$\frac{dp}{dt} = sp(1 - p)$$

En aquesta formulació, $p = p(t)$ representa la freqüència relativa de l'al·lel $A$ al llarg del temps (amb la qual cosa $0 < p(t) < 1$ és la fracció d'individus portadors de $A$) i el paràmetre $0 < s < 1$ és un coeficient constant que quantifica l'avantatge selectiu de $A$ enfront de $a$.

a.

Trobeu la primitiva indefinida $\int \frac{dx}{x(1-x)}$.

b.

Resoleu l'equació diferencial per variables separades i determineu l'expressió explícita de la funció $p(t)$.

$p(t) =$

c.

Quin és el percentatge de la població que posseeix l'al·lel $A$ en l'instant en què la corba de $p(t)$ presenta un punt d'inflexió?

%

d.

Atès que l'al·lel $A$ confereix un valor adaptatiu superior al de $a$, biològicament s'espera que a llarg termini tota la població acabi fixant aquest al·lel. Demostreu, emprant la solució explícita de $p(t)$, que efectivament $\lim_{t\to\infty} p(t) = 1$.