Problema 2 · Matemáticas UAB 2020

a. Determineu la funció explícita que descriu y1(t)

Solución: $20e^{0.55t}$

a. Determineu la funció explícita que descriu y2(t)

Solución: $30e^{0.4t}$

b. Calculeu el valor que pren la diferència y(t) al cap de dos anys (t = 2)

Solución: $6.683$ / $30e^{0.8} - 20e^{1.1}$

c. Troba l'instant de temps en què la diferència y(t) s'anul·la

Solución: $2.703$ anys / $\frac{\ln(1.5)}{0.15}$ anys

d. Descriviu detalladament com evoluciona la relació entre totes dues poblacions durant aquests tres primers anys

Solución: En t = 0 tenim y(0) = 10. La funció és estrictament creixent en [0, 0.58) fins a assolir un màxim absolut de y(0.58) ≈ 10.318. A partir de t ≈ 0.58, la funció decreix de manera monòtona. En t ≈ 2.703 anys la gràfica talla l'eix d'abscisses (y1 = y2), i a partir d'aquest punt y(t) < 0, és a dir, la població y1(t) passa a ser superior a y2(t).

d. Feu un esbós gràfic de la funció diferència y(t) en l'interval [0, 3]

Solución: Gràfica de la corba $y(t) = 30e^{0.4t} - 20e^{0.55t}$ en l'interval $[0, 3]$. Comença a $(0, 10)$, assoleix un màxim relatiu a $(0.58, 10.32)$, talla l'eix d'abscisses a $t \approx 2.703$ i decreix fins a $y(3) \approx -4.5$.