Ejercicio 2 · Matemáticas II UAB 2018

Tema: Función implícita, plano tangente y aproximación lineal · Del examen Examen final (versión B) - Curso 2018-19 (2018)

Enunciado

Ejercicio 2 (4 puntos). Teorema de la función implícita y plano tangente

Se tiene la ecuación:

ex2−1−y2+9z3+yzx+8=0e^{x^2 - 1} - y^2 + 9z^3 + yzx + 8 = 0

a.

En las proximidades del punto (x,y,z)=(1,3,0)(x, y, z) = (1, 3, 0), ¿resulta factible despejar zz de forma unívoca como función de xx e yy (es decir, z=ϕ(x,y)z = \phi(x, y))? Enuncia el teorema aplicable y verifica con detalle cada una de sus hipótesis.

b.

Determina el valor de las derivadas parciales ∂z∂x(1,3)\frac{\partial z}{\partial x}(1, 3) y ∂z∂y(1,3)\frac{\partial z}{\partial y}(1, 3).

c.

Obtén la ecuación del plano tangente a la superficie definida por z=ϕ(x,y)z = \phi(x, y) en el punto (1,3)(1, 3).

Enunciado: Ejercicio 2 · Matemáticas II UAB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. En las proximidades del punto (x, y, z) = (1, 3, 0), ¿resulta factible despejar z de forma unívoca como función de x e y (es decir, z = ϕ(x, y))? Enuncia el teorema aplicable y verifica con detalle cada una de sus hipótesis.

Solución: Sí, se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implícita: F(1,3,0) = 0, F es de clase C¹ y ∂F/∂z(1,3,0) = 3 ≠ 0.

b. Determina el valor de la derivada parcial ∂z/∂x(1, 3).

Solución: -2/3

b. Determina el valor de la derivada parcial ∂z/∂y(1, 3).

Solución: 2

c. Obtén la ecuación del plano tangente a la superficie definida por z = ϕ(x, y) en el punto (1, 3).

Solución: 2x - 6y + 3z + 16 = 0 / z = -2/3*(x - 1) + 2*(y - 3) / z = -2/3*x + 2*y - 16/3

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