Pregunta 2 · Matemáticas II UAB 2013

Tema: Función implícita, plano tangente y aproximación lineal · Del examen Examen Segundo Parcial - Mayo 2013 (2013)

Enunciado

Pregunta 2 (4 puntos). Inversión local y matriz jacobiana inversa

Dada la función vectorial f(x,y)=(x2+y3, x+y)f(x, y) = (x^2 + y^3,\, x + y):

a.

Compruebe razonadamente que ff es localmente invertible en un entorno del punto P=(1,0)P = (1, 0).

b.

Halle la matriz jacobiana de la función inversa evaluada en la imagen de dicho punto, esto es, calcule J(f−1)(f(1,0))J(f^{-1})(f(1, 0)).

Enunciado: Pregunta 2 · Matemáticas II UAB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determinante de la matriz jacobiana en P(1, 0)

Solución: 2

a. Compruebe razonadamente que ff es localmente invertible en un entorno del punto P=(1,0)P = (1, 0).

Solución: La función es de clase C1\mathcal{C}^1 (polinómica) y ∣Jf(1,0)∣=2≠0|Jf(1, 0)| = 2 \neq 0, por lo que el Teorema de la Función Inversa garantiza la existencia de inversa local.

b. Halle la matriz jacobiana de la función inversa evaluada en la imagen de dicho punto, esto es, calcule J(f−1)(f(1,0))J(f^{-1})(f(1, 0)). (Elemento a11a_{11})

Solución: 1/2 / 0.5

b. Calcule J(f−1)(f(1,0))J(f^{-1})(f(1, 0)). (Elemento a12a_{12})

Solución: 0

b. Calcule J(f−1)(f(1,0))J(f^{-1})(f(1, 0)). (Elemento a21a_{21})

Solución: -1/2 / -0.5

b. Calcule J(f−1)(f(1,0))J(f^{-1})(f(1, 0)). (Elemento a22a_{22})

Solución: 1

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Pregunta 1 · 2013 · Ejercicio 1.b - Función implícita · Juny 2013 ›

Más ejercicios de Función implícita, plano tangente y aproximación lineal