Problema 2 · Matemáticas II UAB Juny 2014

a. Comprueba que el punto P = (1, 1, 0) satisface la ecuación g(x, y, z) = 0.

Solución: 0

b. Derivada parcial respecto a z en P

Solución: 2

b. Justifica si es posible despejar de forma unívoca en un entorno de P la variable z como función diferenciable de las variables x e y

Solución: Verificamos las hipótesis del Teorema de la Función Implícita: - La función $g$ es de clase $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^3)$ (y en particular $\mathcal{C}^1$) por ser suma y composición de funciones polinómicas y la exponencial. - Se cumple que $g(1, 1, 0) = 0$. - La derivada parcial $\left.\frac{\partial g}{\partial z}\right|_{(1, 1, 0)} = 2 \neq 0$. Al verificarse todas las hipótesis, el teorema garantiza que existen entornos abiertos $U \subset \mathbb{R}^2$ de $(1, 1)$ y $V \subset \mathbb{R}$ de $0$, así como una única función $\phi: U \to V$ de clase $\mathcal{C}^1$ tal que $\phi(1, 1) = 0$ y $g(x, y, \phi(x, y)) = 0$ para todo $(x, y) \in U$.

c. Derivada parcial de la función implícita respecto de x: dphi/dx(1, 1)

Solución: 1/2 / 0.5

c. Derivada parcial de la función implícita respecto de y: dphi/dy(1, 1)

Solución: -1/2 / -0.5

d. Derivada direccional de phi(x, y) en el punto (1, 1) en la dirección y sentido de v = (3, 4)

Solución: -1/10 / -0.1

d. Interpreta el significado del valor obtenido

Solución: El signo negativo refleja que la función $\phi$ decrece en la dirección del vector dado; al desplazarse desde $(1, 1)$ en el sentido de $\vec{v}$, el valor de la función disminuye a una tasa instantánea de $0{,}1$ unidades por unidad de longitud recorrida.