Ejercicio 1.b - Función implícita · Matemáticas II UAB Juny 2013

Tema: Función implícita, plano tangente y aproximación lineal · Del examen Juny (2013)

Enunciado

Se considera la función escalar g(x,y,z)=2xy2z2−xz4+y3z2−2g(x, y, z) = 2xy^2z^2 - xz^4 + y^3z^2 - 2.

b. Dada la superficie de nivel definida por la ecuación g(x,y,z)=0g(x, y, z) = 0, es decir, 2xy2z2−xz4+y3z2−2=02xy^2z^2 - xz^4 + y^3z^2 - 2 = 0:

a.

[2 puntos] Determine si es posible despejar la variable yy en función de xx y zz; esto es, compruebe si existe una función diferenciable y=ϕ(x,z)y = \phi(x, z) en un entorno del punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1).

Sí

No

b.

[1 punto] Deduzca la ecuación del plano tangente a la gráfica de y=ϕ(x,z)y = \phi(x, z) en el punto (x,z)=(1,1)(x, z) = (1, 1).

Enunciado: Ejercicio 1.b - Función implícita · Matemáticas II UAB Juny 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valor de la derivada parcial ∂g∂y(1,1,1)\frac{\partial g}{\partial y}(1,1,1):

Solución: 7

¿Es posible despejar y=ϕ(x,z)y = \phi(x,z) de forma diferenciable en un entorno de PP?

Solución: Sí

Determine si es posible despejar la variable yy en función de xx y zz; esto es, compruebe si existe una función diferenciable y=ϕ(x,z)y = \phi(x, z) en un entorno del punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1).

Solución: g es de clase C^infinito por ser polinómica; g(1,1,1) = 0; y dg/dy(1,1,1) = 7 != 0. Por tanto, existen entornos donde existe una única función diferenciable y = phi(x,z) con phi(1,1) = 1.

Deduzca la ecuación del plano tangente a la gráfica de y=ϕ(x,z)y = \phi(x, z) en el punto (x,z)=(1,1)(x, z) = (1, 1).

Solución: x + 7y + 2z = 10 / y - 1 = -1/7 (x - 1) - 2/7 (z - 1)

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