Ejercicio 1 · Matemáticas II UAB 2018

Tema: Formas cuadráticas y optimización libre de funciones de varias variables · Del examen Examen final (versión B) - Curso 2018-19 (2018)

Enunciado

Ejercicio 1 (3 puntos). Optimización de la función de beneficio

Una empresa comercializa tres artículos distintos, cuyas cantidades producidas vienen dadas por $x_1$ , $x_2$ y $x_3$ . Su función de ingresos es:

$R(x_1, x_2, x_3) = 20x_1 + 12x_2 + 8x_3$

Por otro lado, la estructura de costes de fabricación corresponde a:

$C(x_1, x_2, x_3) = 4x_1^2 + 8x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + 2$

Sabiendo que el beneficio se define como los ingresos totales menos los costes de producción, la firma desea maximizar su beneficio global:

Determina los puntos críticos asociados al problema de optimización.

$($

$,$

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Aplica las condiciones de segundo orden para clasificar dichos puntos críticos.

Señala cuál es el óptimo global $(x_1^*, x_2^*, x_3^*)$ y argumenta formalmente tu conclusión.

$($

$,$

$)$

Enunciado: Ejercicio 1 · Matemáticas II UAB 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determina los puntos críticos asociados al problema de optimización ( $x_1$ ):

Solución: 2

a. Determina los puntos críticos asociados al problema de optimización ( $x_2$ ):

Solución: 3/4 / 0,75

a. Determina los puntos críticos asociados al problema de optimización ( $x_3$ ):

Solución: 2

b. Aplica las condiciones de segundo orden para clasificar dichos puntos críticos.

Solución: A) Máximo local

c. Señala cuál es el óptimo global: coordenada $x_1^*$ :

Solución: 2

c. Señala cuál es el óptimo global: coordenada $x_2^*$ :

Solución: 3/4 / 0,75

c. Señala cuál es el óptimo global: coordenada $x_3^*$ :

Solución: 2

c. Argumenta formalmente tu conclusión sobre la globalidad del óptimo.

Solución: Dado que la matriz hessiana es definida negativa en todo $\mathbb{R}^3$ , la función $B$ es estrictamente cóncava en todo su dominio. En una función estrictamente cóncava definida sobre un conjunto convexo ( $\mathbb{R}^3$ ), cualquier máximo local es único y coincide con el máximo global.

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Pregunta 3 - Extremos libres · Juny 2018 ›

Ejercicio 1 · Matemáticas II UAB 2018

Enunciado

Solución

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