Ejercicio 3 · Matemáticas II UAB 2018
Tema: Optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange · Del examen Examen final (versión B) - Curso 2018-19 (2018)
Enunciado
Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización con restricciones de igualdad
Considera el siguiente problema de optimización condicionada:
Restringiendo el análisis únicamente a soluciones con e :
a.
Halla los puntos críticos (candidatos a extremo) del problema empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.
(
,
) con
(
,
) con
b.
Utiliza las condiciones de segundo orden (Hessiano orlado) para clasificar dichos puntos críticos en máximos o mínimos locales.
c.
Justifica la existencia de extremos globales y determina cuáles son dichos puntos y sus respectivos valores.
Punto: (
,
), Valor
Punto: (
,
), Valor
Solución
Según los criterios oficiales de corrección
a. Punto crítico con x = 0: coordenada x
Solución: 0
a. Punto crítico con x = 0: coordenada y
Solución: 2
a. Punto crítico con x = 0: multiplicador λ
Solución: 1
a. Punto crítico con y = 0: coordenada x
Solución: 2
a. Punto crítico con y = 0: coordenada y
Solución: 0
a. Punto crítico con y = 0: multiplicador λ
Solución: 1/8 / 0.125
b. Clasificación de (0, 2) con λ = 1
Solución: máximo local / máximo relativo / máximo
b. Clasificación de (2, 0) con λ = 1/8
Solución: mínimo local / mínimo relativo / mínimo
c. Justifica la existencia de extremos globales (teorema empleado)
Solución: Teorema de Weierstrass / Weierstrass
c. Punto del máximo global: coordenada x
Solución: 0
c. Punto del máximo global: coordenada y
Solución: 2
c. Valor del máximo global f(x, y)
Solución: 4
c. Punto del mínimo global: coordenada x
Solución: 2
c. Punto del mínimo global: coordenada y
Solución: 0
c. Valor del mínimo global f(x, y)
Solución: 1/2 / 0.5
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