Examen de Matemáticas II UAB 2013 · Juny

Se considera la función escalar $g(x, y, z) = 2xy^2z^2 - xz^4 + y^3z^2 - 2$.

a.

[1 punto] Calcule la derivada direccional de $g$ en el punto $P = (1, 0, 1)$ según la dirección del vector $\vec{v} = (0, 0, 1)$. ¿Qué interpretación geométrica o física tiene el valor obtenido?

Se considera la función escalar $g(x, y, z) = 2xy^2z^2 - xz^4 + y^3z^2 - 2$.

b. Dada la superficie de nivel definida por la ecuación $g(x, y, z) = 0$, es decir, $2xy^2z^2 - xz^4 + y^3z^2 - 2 = 0$:

a.

[2 puntos] Determine si es posible despejar la variable $y$ en función de $x$ y $z$; esto es, compruebe si existe una función diferenciable $y = \phi(x, z)$ en un entorno del punto $P = (1, 1, 1)$.

Sí

No

b.

[1 punto] Deduzca la ecuación del plano tangente a la gráfica de $y = \phi(x, z)$ en el punto $(x, z) = (1, 1)$.

Ejercicio 2 (3 puntos). Extremos libres en varias variables

Se define la función real de dos variables $f(x, y) = x^4 - 3x^2y + 3y^3$.

a)

(1.5 puntos) Encuentre los puntos críticos de $f$ restringiéndose exclusivamente a la región con $x > 0$ e $y > 0$.

b)

(1 punto) Aplique el criterio de la matriz Hessiana para clasificar el o los puntos hallados (máximos relativos, mínimos relativos o puntos de silla).

c)

(0.5 puntos) Analice y justifique si la función alcanza extremos absolutos (globales) en su dominio $\mathbb{R}^2$.

Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización condicionada

Considere el siguiente problema de optimización bajo restricciones de igualdad:

$$\begin{cases} \text{Optimizar} & f(x,y) = \dfrac{y^2}{10} - x + 23 \\[2ex] \text{sujeto a} & g(x,y) = x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$$

a.

(1.5 puntos) Determine los puntos candidatos a óptimo mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Punto:

$\lambda_1 =$:

Punto:

$\lambda_2 =$:

b.

(1 punto) Clasifique dichos puntos utilizando el criterio del determinante de la matriz Hessiana orlada (ampliada).

$\det \overline{H}(P) =$:

Naturaleza del punto:

$\det \overline{H}(Q) =$:

Naturaleza del punto:

c.

(0.5 puntos) Justifique la existencia de extremos absolutos condicionados y localícelos empleando los resultados previos.

Punto:

Valor mínimo:

Punto:

Valor máximo: