Examen de Matemáticas II UAB 2013 · Segundo Parcial - Mayo 2013

Pregunta 1 (1 punto). Plano tangente

Considere la función escalar definida por $f(x, y) = e^{x - y^2 + 3xy}$. Determine la ecuación general del plano tangente a la gráfica de dicha función en el punto de coordenadas $(0, 0)$.

Pregunta 2 (4 puntos). Inversión local y matriz jacobiana inversa

Dada la función vectorial $f(x, y) = (x^2 + y^3,\, x + y)$:

a.

Compruebe razonadamente que $f$ es localmente invertible en un entorno del punto $P = (1, 0)$.

b.

Halle la matriz jacobiana de la función inversa evaluada en la imagen de dicho punto, esto es, calcule $J(f^{-1})(f(1, 0))$.

Un consumidor tiene como función de utilidad $u(x, y) = x \cdot y$, donde $x$ denota la cantidad consumida de Coca-Cola e $y$ la cantidad de galletas. El precio por unidad de Coca-Cola es de 2 euros y el de galletas es de 10 euros. El presupuesto semanal asciende a 50 euros. En consecuencia, el conjunto de oportunidades presupuestarias viene descrito por:

$$R = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x + 10y \le 50,\, x \ge 0,\, y \ge 0\right\}$$

a.

Justifique teóricamente que la función de utilidad alcanza un máximo absoluto en la región presupuestaria $R$ y describa gráficamente la situación.

b.

Obtenga el vector gradiente de $u$ en el punto $(x_0, y_0) = (12.5, 2.5)$ y verifique que resulta ortogonal a la recta presupuestaria.

(,)

c.

A partir de la ortogonalidad probada en el apartado anterior, razone por qué el punto $(12.5, 2.5)$ es la solución óptima (máximo) del problema en el conjunto $R$.

Un consumidor tiene como función de utilidad $u(x, y) = x \cdot y$, donde $x$ denota la cantidad consumida de Coca-Cola e $y$ la cantidad de galletas. El precio por unidad de Coca-Cola es de 2 euros y el de galletas es de 10 euros. El presupuesto semanal asciende a 50 euros. En consecuencia, el conjunto de oportunidades presupuestarias viene descrito por:

$$R = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x + 10y \le 50,\, x \ge 0,\, y \ge 0\right\}$$

d. Demuestre que la función de utilidad es diferenciable en cualquier punto del plano $(x, y)$.