Ejercicio 3 - Optimización condicionada · Matemáticas II UAB Juny 2013

Tema: Optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange · Del examen Juny (2013)

Enunciado

Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización condicionada

Considere el siguiente problema de optimización bajo restricciones de igualdad:

{Optimizarf(x,y)=y210−x+23sujeto ag(x,y)=x2+y2=4\begin{cases} \text{Optimizar} & f(x,y) = \dfrac{y^2}{10} - x + 23 \\[2ex] \text{sujeto a} & g(x,y) = x^2 + y^2 = 4 \end{cases}

a.

(1.5 puntos) Determine los puntos candidatos a óptimo mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Punto:

λ1=\lambda_1 =:

Punto:

λ2=\lambda_2 =:

b.

(1 punto) Clasifique dichos puntos utilizando el criterio del determinante de la matriz Hessiana orlada (ampliada).

det⁡H‾(P)=\det \overline{H}(P) =:

Naturaleza del punto:

det⁡H‾(Q)=\det \overline{H}(Q) =:

Naturaleza del punto:

c.

(0.5 puntos) Justifique la existencia de extremos absolutos condicionados y localícelos empleando los resultados previos.

Punto:

Valor mínimo:

Punto:

Valor máximo:

Enunciado: Ejercicio 3 - Optimización condicionada · Matemáticas II UAB Juny 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Primer punto candidato (x1, y1):

Solución: (2, 0)

a. Multiplicador de Lagrange λ1 correspondiente:

Solución: -1/4 / -0,25

a. Segundo punto candidato (x2, y2):

Solución: (-2, 0)

a. Multiplicador de Lagrange λ2 correspondiente:

Solución: 1/4 / 0,25

b. Determinante de la matriz Hessiana orlada det H(P) en (2,0; λ = -1/4):

Solución: -56/5 / -11,2

b. Clasificación del punto (2,0):

Solución: Mínimo local condicionado

b. Determinante de la matriz Hessiana orlada det H(Q) en (-2,0; λ = 1/4):

Solución: 24/5 / 4,8

b. Clasificación del punto (-2,0):

Solución: Máximo local condicionado

c. Justificación de la existencia de extremos absolutos condicionados:

Solución: El conjunto factible S = {(x,y) en R^2 : x^2 + y^2 = 4} es una circunferencia de centro (0,0) y radio 2, la cual es cerrada y acotada, luego compacta. Puesto que f es continua sobre un conjunto compacto, el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absolutos condicionados.

c. Punto de mínimo absoluto condicionado:

Solución: (2, 0)

c. Valor mínimo absoluto condicionado:

Solución: 21

c. Punto de máximo absoluto condicionado:

Solución: (-2, 0)

c. Valor máximo absoluto condicionado:

Solución: 25

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