Sujet du Bac Mathématiques 2022 · Mayotte-Liban Jour 1

Principaux domaines abordés:

Probabilités.

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur:

- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans;

- un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que:

20% des skieurs ont un forfait JUNIOR;

80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR;

parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file;

parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements:

$J$: « le skieur a un forfait JUNIOR »;

$C$: « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1.

Traduire la situation par un arbre pondéré.

2.

Calculer la probabilité $P(J \cap C)$.

3.

Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.

4.

Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

5.

Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.

Principaux domaines abordés:

Probabilités.

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur:

- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans;

- un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que:

20% des skieurs ont un forfait JUNIOR;

80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR;

parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file;

parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements:

$J$: « le skieur a un forfait JUNIOR »;

$C$: « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

2.

Calculer la probabilité qu'au moins un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

3.

Calculer la probabilité qu'au plus un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

4.

Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.

Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15%.

Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

.

2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ et $u_0 = 6$. On peut affirmer que:

.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

3. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = 4\ln(3x)$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, on a:

.

4.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1; +\infty[$ par:

$$g(x) = \frac{\ln(x)}{x - 1}$$

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

La courbe $\mathcal{C}_g$ admet:

.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

5.

Sur l'intervalle $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}; 2\right]$, la fonction $h$ s'annule:

.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

6. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\mathrm{e}}$ est:

7. Sur l'intervalle $]0\; 2]$, le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à:

EXERCICE 3 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Suites;

Fonctions, Fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:

$$f(x) = 1 + x - \text{e}^{0,5x - 2}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par: $f(x) = 1 + x - \mathrm{e}^{0,5x-2}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

1. a.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

1. b.

Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1 + 0,5x\left(2 - \dfrac{\mathrm{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \mathrm{e}^{-2}\right)$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2. a.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

2. b.

Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle $]4 + 2\ln(2); +\infty[$.

3.

Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4 + 2\ln(2)$ par $f$.

4.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1; 0]$.

EXERCICE 3 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Suites;

Fonctions, Fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:

$$f(x) = 1 + x - \text{e}^{0,5x - 2}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie à la partie A.

1. a.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a:

$$u_n \le u_{n+1} \le 4$$

1. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On notera $\ell$ la limite.

2. a.

On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell = f(\ell)$. Démontrer que $\ell = 4$.

2. b.

On considère la fonction valeur écrite ci-contre dans le langage Python:

L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(5; 0; -1)$, $B(1; 4; -1)$, $C(1; 0; 3)$, $D(5; 4; 3)$ et $E(10; 9; 8)$.

1. a.

Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$. Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.

1. b.

Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vec{AB}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est: $$x - y - 1 = 0$$

1. c.

Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.

2.

On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$.

2. a.

Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.

2. b.

On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est: $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = t \end{cases}$$

3.

On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$. Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.

On admet que les plans $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB], [AC]$ et $[AD]$.

4. a.

Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.

4. b.

En déduire que les points $A, B, C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.