Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

Thème : Probabilités conditionnelles et indépendance · Tiré du sujet Jour 1 (2022)

Énoncé

Principaux domaines abordés:

Probabilités.

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur:

- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans;

- un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que:

20% des skieurs ont un forfait JUNIOR;

80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR;

parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file;

parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements:

JJ: « le skieur a un forfait JUNIOR »;

CC: « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1.

Traduire la situation par un arbre pondéré.

2.

Calculer la probabilité P(J∩C)P(J \cap C).

3.

Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,1120{,}112.

4.

Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à 10−310^{-3}.

5.

Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.

Énoncé: Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

Réponse : Arbre pondéré à deux niveaux : - Premier niveau : * Branche JJ avec une probabilité de 0,20{,}2 * Branche J‾\overline{J} (ou SÉNIOR) avec une probabilité de 0,80{,}8 - Deuxième niveau à partir de JJ : * Branche CC avec une probabilité de 0,060{,}06 * Branche C‾\overline{C} avec une probabilité de 1−0,06=0,941 - 0{,}06 = 0{,}94 - Deuxième niveau à partir de J‾\overline{J} : * Branche CC avec une probabilité de 0,1250{,}125 * Branche C‾\overline{C} avec une probabilité de 1−0,125=0,8751 - 0{,}125 = 0{,}875

2. Calculer la probabilité P(J∩C)P(J \cap C).

Réponse : 0,012

3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.

Réponse : Les événements JJ et J‾\overline{J} forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : P(C)=P(J∩C)+P(J‾∩C)P(C) = P(J \cap C) + P(\overline{J} \cap C) P(C)=0,012+P(J‾)×PJ‾(C)=0,012+0,8×0,125=0,012+0,100=0,112P(C) = 0{,}012 + P(\overline{J}) \times P_{\overline{J}}(C) = 0{,}012 + 0{,}8 \times 0{,}125 = 0{,}012 + 0{,}100 = 0{,}112

Les réponses des 3 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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