Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Probabilités.

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur:

- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans;

- un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que:

20% des skieurs ont un forfait JUNIOR;

80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR;

parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file;

parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements:

$J$: « le skieur a un forfait JUNIOR »;

$C$: « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

2.

Calculer la probabilité qu'au moins un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

3.

Calculer la probabilité qu'au plus un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

4.

Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.