Exercice 4 · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(5; 0; -1)$, $B(1; 4; -1)$, $C(1; 0; 3)$, $D(5; 4; 3)$ et $E(10; 9; 8)$.

1. a.

Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$. Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.

1. b.

Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vec{AB}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est: $$x - y - 1 = 0$$

1. c.

Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.

2.

On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$.

2. a.

Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.

2. b.

On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est: $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = t \end{cases}$$

3.

On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$. Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.

On admet que les plans $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB], [AC]$ et $[AD]$.

4. a.

Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.

4. b.

En déduire que les points $A, B, C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.