Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

EXERCICE 3 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Suites;

Fonctions, Fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:

$$f(x) = 1 + x - \text{e}^{0,5x - 2}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie à la partie A.

1. a.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a:

$$u_n \le u_{n+1} \le 4$$

1. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On notera $\ell$ la limite.

2. a.

On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell = f(\ell)$. Démontrer que $\ell = 4$.

2. b.

On considère la fonction valeur écrite ci-contre dans le langage Python:

L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.