Exercice 2 - Questions 4 et 5 · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

4.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1; +\infty[$ par:

$$g(x) = \frac{\ln(x)}{x - 1}$$

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

La courbe $\mathcal{C}_g$ admet:

.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

5.

Sur l'intervalle $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}; 2\right]$, la fonction $h$ s'annule:

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