Exercice 3 - Partie A · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

EXERCICE 3 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Suites;

Fonctions, Fonction exponentielle.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:

$$f(x) = 1 + x - \text{e}^{0,5x - 2}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par: $f(x) = 1 + x - \mathrm{e}^{0,5x-2}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa dérivée.

1. a.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

1. b.

Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1 + 0,5x\left(2 - \dfrac{\mathrm{e}^{0,5x}}{0,5x} \times \mathrm{e}^{-2}\right)$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2. a.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

2. b.

Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle $]4 + 2\ln(2); +\infty[$.

3.

Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4 + 2\ln(2)$ par $f$.

4.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1; 0]$.