Exercice 2 - Questions 1 et 2 · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 1)

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0\; 2]$ par:

$$h(x) = x^2(1 + 2\ln(x))$$ On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\; 2]$. On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\; 2]$, on a:

$$h'(x) = 4x(1 + \ln(x))$$

1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.

Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15%.

Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

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2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ et $u_0 = 6$. On peut affirmer que:

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