Exercice 3 - Question 3 : Nombres complexes · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2026

EXERCICE 3 (4 points)

(Mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes les unes des autres.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = (8x + 1)\text{e}^{-x}$$

On admet que $f(x) \ge 0$ pour tout $x$ appartenant à $[0; 2]$.

Dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ci-dessous, $C_f$ désigne la courbe représentative de $f$.

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$F(x) = -(8x + 9)\text{e}^{-x}$$

On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On note A l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-dessus, en unité d'aire.

Question 3

On note $i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

On considère le nombre complexe $z = -2\sqrt{3} + 2i$.

Écrire le nombre complexe $z$ sous forme exponentielle en détaillant les étapes de calcul.

On pourra s'aider du demi-cercle trigonométrique ci-dessous pour répondre à cette question.