Exercice 3 - Question 6 · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole remplacement 2022

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$.

Rappel

Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes:

$$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

$$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$$

$$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$

$$\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$$

1.

Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$.

2.

Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.