Sujet du Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques 2021 · Métropole

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (4 points)

(physique-chimie et mathématiques)

Le son est produit par la vibration d'objets et il arrive jusqu'à nos oreilles sous forme d'ondes se propageant dans l'air. Les sons sont perçus de manière plus ou moins intense.

L'intensité sonore, ou intensité acoustique notée $I$ et exprimée en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$, caractérise l'intensité du signal perçue par l'oreille.

On calcule le niveau d'intensité sonore noté $L$ en décibels (dB) à partir de l'intensité sonore notée $I$ ($\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$) par la relation: $L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$.

On rappelle que $I_0 = 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$ (intensité sonore minimale de référence).

Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: onde sonore et intensité

Nos oreilles peuvent être endommagées irrémédiablement si le niveau d'intensité sonore et la durée d'exposition au bruit sont trop importants.

Une personne souhaite assister au décollage de la fusée Ariane sans protection auditive.

Après avoir déterminé le niveau d'intensité sonore de la fusée Ariane au décollage, au voisinage de la rampe de lancement, utiliser les données ainsi que vos connaissances pour déterminer à quelle distance minimale la personne doit être de la rampe de lancement pour s'assurer que le bruit du décollage ne présente aucun risque pour son audition.

Données:

• L'intensité acoustique du bruit généré par le décollage de la fusée Ariane vaut $10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$ à une distance de $100\text{ m}$ de la rampe de lancement.

• On considère, pour simplifier, que l'oreille humaine ne subit pas de dommage pour un son dont le niveau d'intensité sonore ne dépasse pas $100\text{ dB}$, pendant une durée d'exposition ne dépassant pas quatre minutes par jour.

• Le niveau d'intensité sonore diminue de $20\text{ dB}$ lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$. Ainsi pour une distance à la source $d_2 = 10\,d_1$, $L(d_2) = L(d_1) - 20\text{ dB}$.

Partie B: étude mathématique

1.

On rappelle que $L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. Montrer que $I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}$.

2.

Calculer l'intensité sonore pour $L = 50\text{ dB}$.

3.

L'intensité sonore $I$ double-t-elle lorsque l'on double le niveau d'intensité sonore $L$ ?

4.

Pour une distance à la source $d_1$ (resp. $d_2$), on note $L_1$ (resp. $L_2$) le niveau d'intensité sonore à la distance $d_1$ (resp. $d_2$) de la source et $I_1$ (resp. $I_2$) l'intensité sonore à la distance $d_1$ (resp. $d_2$) de la source.

Le niveau d'intensité sonore diminue de $20\text{ dB}$ lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$. Ainsi si $d_2 = 10\,d_1$, on a: $L_2 = L_1 - 20\text{ dB}$.

Montrer que l'intensité sonore est divisée par $100$ lorsque la distance par rapport à la source est multipliée par $10$.

EXERCICE 2 commun à tous les candidats (6 points)

(physique-chimie)

L’étude porte sur une voiture solaire miniature que l’on peut trouver dans le commerce.

Photographies de la voiture

Photographie de la voiture solaire: une cellule photovoltaïque directement branchée sur un moteur à courant continu.

Photographie de la face avant de la cellule (dimensions: $60\text{ mm} \times 25\text{ mm}$).

Photographie de la face arrière de la cellule. Aucune donnée technique n’est précisée, hormis deux indications au verso de la cellule photovoltaïque.

On note $U_{cell}$ la tension aux bornes de la cellule et $I_{cell}$ l'intensité du courant fourni par la cellule.

1.

Compléter en indiquant les fonctions (voltmètre V ou ampèremètre A) des multimètres 1 et 2.

2.

Indiquer le rôle de la résistance de valeur réglable dans le montage expérimental.

3.

Compléter le diagramme énergétique.

4.

On appelle tension à vide la tension aux bornes de la cellule lorsque le circuit est ouvert. On appelle intensité de court-circuit, l'intensité du courant débitée par la cellule lorsqu'on court-circuite ses bornes. En utilisant la caractéristique tension-courant, déterminer la valeur de la tension à vide $U_{CO}$ et la valeur de l'intensité de court-circuit $I_{CC}$.

5.

On s'intéresse également à la puissance électrique $P_{ELEC}$ délivrée par la cellule.

Donner, en précisant les unités, l'expression liant la puissance électrique $P_{ELEC}$ délivrée par la cellule, la tension $U_{cell}$ aux bornes de celle-ci et l'intensité $I_{cell}$ du courant qu'elle génère.

6.

Déterminer la valeur de la puissance maximale (appelée puissance crête) $P_C$ délivrée par la cellule et la valeur de la tension $U_C$ correspondant à la puissance crête.

7.

Déduire des questions précédentes la valeur de $I_C$, intensité à la puissance crête.

8.

Comparer les valeurs de $U_C$ et $I_C$ avec les valeurs indiquées à l'arrière de cellule photovoltaïque. Commenter la cohérence de ces valeurs.

9.

Montrer que, lorsque la cellule fonctionne au point de puissance maximale, son rendement est de l'ordre de 17 %.

EXERCICE 2 commun à tous les candidats (6 points)

(physique-chimie)

L’étude porte sur une voiture solaire miniature que l’on peut trouver dans le commerce.

Photographies de la voiture

Photographie de la voiture solaire: une cellule photovoltaïque directement branchée sur un moteur à courant continu.

Photographie de la face avant de la cellule (dimensions: $60\text{ mm} \times 25\text{ mm}$).

Photographie de la face arrière de la cellule. Aucune donnée technique n’est précisée, hormis deux indications au verso de la cellule photovoltaïque.

La majorité des petits jouets électriques fonctionnant avec des piles salines, on se propose dans cette partie d'étudier le fonctionnement de telles piles.

La pile saline est de conception assez ancienne puisqu'elle a été mise au point en 1867 par Georges Leclanché (ingénieur français, 1839-1882).

De nos jours, la structure d'une pile saline est la suivante:

Quand la pile est en fonctionnement, l'électrode de zinc est le siège de la transformation chimique modélisée par la réaction électrochimique:

$$\mathrm{Zn(s) \rightarrow Zn^{2+}(aq) + 2e^-}$$

L'électrode de graphite est le siège d'une transformation chimique modélisée par la réaction électrochimique:

$$\mathrm{MnO_2(s) + H^+(aq) + e^- \rightarrow MnO(OH)(s)}$$

Étude de l'électrode de zinc

La pile est reliée à un conducteur par des fils électriques.

10.

11.

12.

Étude du couple du dioxyde de manganèse

13.

Bilan de fonctionnement de la pile

14.

Exercice 3

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = ax + b - \ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans le repère ci-dessous.

On note $A$ le point d'abscisse $0,5$ appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$. La droite $T$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Le point $B(1; 1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

a)

Donner la valeur de $f(1)$. En déduire une relation entre $a$ et $b$.

$a + b =$

b)

Justifier que $f'(0,5) = 0$. En déduire la valeur de $a$.

$a =$

c)

En déduire la valeur de $b$.

$b =$

Question 2

Une entreprise achète une machine d'une valeur de $300\,000$ €. Cette machine perd de sa valeur au fil des années. Cette perte exprimée en euro, à l'instant $t$ exprimé en année, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0\;\ 15]$ par:

$$f(t) = 300\,000\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}09\,t}\right).$$

Au bout de combien d'années (résultat arrondi à l'unité) la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?

ans

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = 2x - 1 - \ln(x)$.

a.

Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2x - 1}{x}$.

b.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ en faisant figurer la valeur exacte de son extremum. On précisera les limites aux bornes de l'intervalle.

Question 4

a.

On considère l'équation différentielle $(E): y' + 0{,}0434\,y = 0$.

Déterminer sur $[0\,;\,+\infty[$ la solution $P$ de cette équation différentielle qui vérifie la condition initiale $y(0) = 6{,}75$.

$P(x) =$

b.

Un signal de puissance initiale $P(0) = 6{,}75\text{ mW}$ parcourt une fibre optique. La puissance du signal, exprimée en $\text{mW}$, lorsque celui-ci a parcouru une distance de $x$ kilomètres depuis l'entrée de la fibre optique, est donnée par $P(x)$ où $P$ est la fonction déterminée à la question a.

Montrer que la perte de puissance une fois que le signal a parcouru un kilomètre depuis l'entrée est d'environ $287\,\mu\text{W}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 + 5x + 4)\,\mathrm{e}^x$.

Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (x^2 + 3x + 1)\,\mathrm{e}^x$.

a.

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, $F'(x) = f(x)$.

b.

Calculer $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Rappel: Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes:

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$

$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$

$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

La tension $u$ aux bornes d'un générateur dépendant du temps $t$ est donnée par:

$$u(t) = 240\cos(50t) - 240\sin(50t)$$

La tension $u$ est exprimée en volt et le temps $t$ est exprimé en seconde.

a.

Montrer que pour tout $t$ appartenant à $[0; +\infty[$, $u(t) = 240\sqrt{2}\cos\left(50t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

b.

En déduire la fréquence $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$, exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où $\omega$ désigne la pulsation. On arrondira le résultat à l'unité.

EXERCICE 4 – A: combustibles solides pour randonner léger

Extrait d'un site marchand sur un combustible solide à base d'hexamine: recharge de combustible essence solide à base d'hexamine pour des réchauds essence solide du marché: 2 tablettes de 4 g permettent de porter 25 cl d'eau à ébullition en 5 minutes.

Hexamine

formule brute $C_6H_{12}N_4$; produits de combustion dans l'air: diazote $N_2$, eau et dioxyde de carbone; pouvoir calorifique massique: 30 MJ.kg⁻¹

Extrait d'un site marchand sur un combustible à « gel éthanol »: le « gel éthanol » est un gel à base d'éthanol (formule brute $C_2H_6O$) à haut pouvoir énergétique et non toxique, pouvoir calorifique 28 MJ.kg⁻¹.

Données pour l'eau

masse volumique $\mu_{eau} = 1{,}0\ kg.L^{-1}$; capacité thermique massique de l'eau liquide $c_{eau} = 4{,}2\ kJ.kg^{-1}.K^{-1}$; énergie massique de vaporisation de l'eau $\ell v_{eau} = 2{,}3\times10^3\ kJ.kg^{-1}$

Données pour l'acier inox

capacité thermique massique de l'acier inox: $502\ J.kg^{-1}.K^{-1}$

1.

2.

3.1

3.2

4.

5.

6.

7.

EXERCICE 4 – B: le rôle du polystyrène extrudé dans l'isolation des murs d'une maison

Mots clés: flux thermique, conduction et résistance thermique.

Le but de cet exercice consiste à vérifier l'amélioration thermique due à une couche supplémentaire d'isolant, ici du polystyrène extrudé, dans les murs d'une maison.

Mesure de la conductivité thermique du polystyrène

Dans un premier temps, il est intéressant de pouvoir déterminer expérimentalement la conductivité thermique du polystyrène extrudé, matériau très utilisé comme isolant thermique car facile à produire et à faible coût.

Pour cela, nous utilisons un fluxmètre thermique qui nous permet de mesurer le flux thermique d'un échantillon de surface $S$ et d'épaisseur $e$ pour une différence de température donnée comme indiqué sur le document ci-dessous.

Présentation et principe de fonctionnement d'un fluxmètre thermique

Le fluxmètre considéré permet une mesure simple et instantanée d'un flux thermique.

Le capteur permet la mesure du flux lorsqu'il est en contact avec les deux faces d'un matériau ayant des températures différentes. Le sens du flux est indiqué sur le capteur (du chaud vers le froid).

Relation permettant le calcul de la conductivité thermique d'un matériau

La conductivité thermique est une grandeur physique qui caractérise la capacité des matériaux à conduire la chaleur. On peut la déterminer grâce à la relation suivante:

$$\lambda_{matériau} = \frac{e \cdot \Phi}{S \cdot \Delta\theta}$$

avec: $\Delta\theta$: écart de température entre les deux surfaces en K; $e_{échantillon}$: épaisseur du matériau de l'échantillon en m; $\Phi$: flux thermique en W; $S$: surface d'échange en m²; $\lambda_{matériau}$: conductivité thermique en $\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$.

Résistance thermique d'un matériau

La résistance thermique $R_{th}$ d'un matériau traduit sa capacité à échanger un flux thermique. On peut déterminer $R_{th}$ à l'aide de la relation suivante:

$$R_{th} = \frac{e}{\lambda}$$

avec $e$: épaisseur du matériau dans la paroi en m; $\lambda$: conductivité thermique en $\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$; $R_{th}$ s'exprime en $\mathrm{K.m^2.W^{-1}}$.

1.

Définir le flux thermique à travers une paroi.

2.

À partir des données, proposer une démarche expérimentale qui permet de déterminer la conductivité thermique d'une plaque de polystyrène extrudé d'épaisseur $e$ et de surface $S$.

Pour avoir une valeur plus précise, des mesures ont été réalisées avec des échantillons d'épaisseurs différentes. Les résultats sont regroupés sur les figures ci-dessous.

Mesures de résistance thermique du polystyrène extrudé en fonction de l'épaisseur

3.

Commenter le tracé de la figure représentant la résistance thermique en fonction de l'épaisseur.

4.

Expliquer comment est obtenue la figure représentant la conductivité thermique à partir de celle représentant la résistance thermique.

5.

Estimer la valeur de la conductivité thermique du polystyrène extrudé.

Calculs de résistance thermique

Pour améliorer l'isolation d'une maison, il est possible d'ajouter entre le béton et le bois un revêtement en polystyrène, de manière à ce que la résistance thermique surfacique des murs $R_{th}$ respecte la norme RT 2012 à savoir $R_{th} > 4\ \mathrm{m^2.K.W^{-1}}$.

Coupe du mur avant isolation / Coupe du mur après isolation

Conductivité thermique de quelques matériaux de construction

$\lambda_{béton} = 1{,}8\ \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$; $\lambda_{bois} = 0{,}15\ \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$; $\lambda_{plâtre} = 0{,}25\ \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$; $\lambda_{PSEextrudé} = 0{,}040\ \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$.

6.

À partir des données précédentes, calculer la résistance thermique totale de la coupe du mur avant isolation.

7.

La réglementation thermique RT 2012 impose une résistance thermique des murs supérieure à 4,0 m².K.W⁻¹. Vérifier si la réglementation thermique RT 2012 est vérifiée avant l'isolation du mur.

8.

Calculer l'épaisseur minimale de polystyrène extrudé à utiliser pour que l'isolation du mur soit conforme à la réglementation RT 2012.