Exercice 3 - Question 3 · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2021

Thème : Fonction logarithme népérien · Tiré du sujet Métropole France (2021)

Énoncé

Question 3

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=2x−1−ln⁡(x)f(x) = 2x - 1 - \ln(x).

a.

Montrer que pour tout xx appartenant à ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, f′(x)=2x−1xf'(x) = \dfrac{2x - 1}{x}.

b.

Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ en faisant figurer la valeur exacte de son extremum. On précisera les limites aux bornes de l'intervalle.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

a. Montrer que pour tout xx appartenant à ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, f′(x)=2x−1xf'(x) = \dfrac{2x - 1}{x}.

Réponse : f′(x)=2−1x=2x−1xf'(x) = 2 - \frac{1}{x} = \frac{2x - 1}{x}

Limite de f(x)f(x) quand x→0+x \to 0^+

Réponse : +∞+\infty

Limite de f(x)f(x) quand x→+∞x \to +\infty

Réponse : +∞+\infty

Nature de l'extremum

Réponse : minimum

Abscisse de l'extremum

Réponse : 0,50{,}5 / 12\frac{1}{2}

Valeur exacte de l'extremum

Réponse : ln⁡(2)\ln(2)

Description des variations sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[

Réponse : La fonction ff est strictement décroissante sur ]0 ; 0,5]]0\,;\,0{,}5], puis strictement croissante sur [0,5 ; +∞[[0{,}5\,;\,+\infty[.

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