Sujet du Bac Physique-Chimie 2023 · Métropole 1

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

1. Observation de Saturne par Huygens

La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées $L_1$ et $L_2$. La lentille $L_1$ représente l'objectif et la lentille $L_2$ l'oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés $O_1$ et $O_2$ et leurs distances focales respectives sont notées $f'_1$ et $f'_2$.

Q1.

Préciser le sens du terme « afocal ».

Q2-Q3-Q5.

Sur la figure A1 de l'annexe:

Q2. Placer les foyers objet $F_2$ et image $F'_2$ de la lentille $L_2$ dans le cas d'une lunette afocale.

Q3. Construire la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l'image intermédiaire $A_1B_1$.

Q5. Placer l'angle $\theta'$ sur la figure A1.

Q4.

La lunette de Huygens est constituée d'un tube long de $372\text{ cm}$. Comme indiqué sur la figure 4, l'oculaire est placé à une extrémité du tube. L'objectif quant à lui est enfoncé de $36\text{ cm}$ par rapport à l'autre extrémité, afin de le protéger de la buée.

Vérifier, à partir des données, que la lunette d'Huygens peut être considérée comme « afocale ».

Q6.

L'angle $\theta$, représenté sur la figure A1, désigne l'angle sous lequel l'espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l'œil nu depuis la Terre (voir figure 5). On note $\theta'$ l'angle sous lequel un observateur voit l'image A'B' de l'espace AB, à travers la lunette astronomique.

Donner l'expression du grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette de Huygens en fonction des angles $\theta$ et $\theta'$.

Q7.

Montrer que le grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette de Huygens s'exprime en fonction des distances focales des lentilles $L_1$ et $L_2$ constituant la lunette: $$G_{\text{Huy}} = \frac{f'_1}{f'_2}$$

Q8.

Calculer la valeur du grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette utilisée par Huygens.

Q9.

Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à $D_{\text{A-B}} = 3{,}17\times 10^4\text{ km}$.

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

L'observation des détails d'un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l'image donnée par l'objectif d'une source ponctuelle « à l'infini » n'est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée tache d'Airy, représentée en figure 6.

Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l'angle caractéristique de diffraction vérifie la relation:

$$\theta_{\text{diff}} = 1{,}22 \times \frac{\lambda}{a}$$

avec $\lambda$ la longueur d'onde du faisceau incident et $a$ le diamètre de l'objectif.

Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l'écart angulaire $\theta$ entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l'angle caractéristique de diffraction, c'est-à-dire si la condition $\theta \ge \theta_{\text{diff}}$ est vérifiée. Si ce n'est pas le cas, les taches d'Airy associées aux deux points se superposent et les deux points ne peuvent être séparés visuellement.

Q10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d'observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer. Une approche quantitative est attendue.

On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l'époque est égale à $D_{\text{A-B}} = 3{,}17 \times 10^4\text{ km}$ et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d'onde $\lambda = 550\text{ nm}$, pour laquelle l'œil humain est le plus sensible.

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

3. Découverte de Titan par Huygens

Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne, un point brillant qu'il soupçonne être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelée Titan.

« Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j'ai dessiné une circonférence de cercle représentant l'orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l'ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j'ai fait circuler le satellite suivant l'ordre naturel des chiffres. [...]

Cherchant ensuite sur cette circonférence l'endroit où le satellite s'était trouvé dans notre première observation et corrigeant plusieurs fois cet endroit, [...] il m'a semblé enfin que tout le mouvement peut être représenté le plus commodément, si dans le cas de la première observation, celle du 25 mars 1655, le satellite est placé auprès du nombre 12. Par suite le satellite de Saturne était le 26 mars auprès du nombre 13, le 27 mars auprès du nombre 14, le 3 avril auprès du nombre 5 et ainsi de suite aux endroits de l'orbite qui correspondent assez bien avec les situations observées la première année. »

Q11.

Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties.

Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l'origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(T, \vec{u}_t, \vec{u}_n)$.

Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution $T_{\text{Huy}}$ de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».

Q12.

Donner l'expression vectorielle de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de $G$, $M_S$, $M_T$, $R$ et de l'un des vecteurs unitaires.

Q13.

Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu'il est uniforme puis que l'expression de la vitesse du satellite s'écrit sous la forme: $$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{R}}$$

Q14.

En déduire l'expression de la période de révolution notée $T_{\text{Kep}}$ de Titan. Calculer sa valeur. Commenter.

EXERCICE 2 - SYNTHÈSE DE L'ARÔME DE BANANE (5 points)

L'arôme de banane est un mélange complexe de plusieurs espèces chimiques naturelles. Le principal constituant de cet arôme est l'éthanoate de 3-méthylbutyle aussi appelé acétate d'isoamyle: il est utilisé en parfumerie et comme additif alimentaire.

L'objectif de cet exercice est de comparer plusieurs protocoles permettant de synthétiser au laboratoire cette espèce chimique, afin de déterminer quelle synthèse est la plus éco-responsable.

L'équation de la réaction de synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est la suivante:

Données:

Table de données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H · C–H · C=C · C=O

Nombre d'onde (en cm⁻¹) · 3200 – 3700 · 2850 – 3100 · 1620 – 1680 · 1650 – 1750

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte · Faible et fine · Forte et fine

Spectres à attribuer:

1. Identification des espèces mises en jeu dans la réaction

Q1.

Représenter la formule topologique des réactifs et de l'éthanoate de 3-méthylbutyle. Entourer les groupes caractéristiques et identifier les familles fonctionnelles correspondantes.

Q2.

Justifier que le produit P obtenu lors de cette synthèse est de l'eau.

EXERCICE 2 - SYNTHÈSE DE L'ARÔME DE BANANE (5 points)

L'arôme de banane est un mélange complexe de plusieurs espèces chimiques naturelles. Le principal constituant de cet arôme est l'éthanoate de 3-méthylbutyle aussi appelé acétate d'isoamyle: il est utilisé en parfumerie et comme additif alimentaire.

L'objectif de cet exercice est de comparer plusieurs protocoles permettant de synthétiser au laboratoire cette espèce chimique, afin de déterminer quelle synthèse est la plus éco-responsable.

L'équation de la réaction de synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est la suivante:

Données:

Table de données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H · C–H · C=C · C=O

Nombre d'onde (en cm⁻¹) · 3200 – 3700 · 2850 – 3100 · 1620 – 1680 · 1650 – 1750

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte · Faible et fine · Forte et fine

Spectres à attribuer:

Q3. Attribuer, à l'aide des données et en justifiant, chacun des spectres A et B représentés ci-après soit à l'acide éthanoïque, soit à l'éthanoate de 3-méthylbutyle.

1.

Acide éthanoïque

Éthanoate de 3-méthylbutyle

2.

Acide éthanoïque

Éthanoate de 3-méthylbutyle

3.

2. Comparaison de protocoles de synthèse

EXERCICE 2 - SYNTHÈSE DE L'ARÔME DE BANANE (5 points)

L'arôme de banane est un mélange complexe de plusieurs espèces chimiques naturelles. Le principal constituant de cet arôme est l'éthanoate de 3-méthylbutyle aussi appelé acétate d'isoamyle: il est utilisé en parfumerie et comme additif alimentaire.

L'objectif de cet exercice est de comparer plusieurs protocoles permettant de synthétiser au laboratoire cette espèce chimique, afin de déterminer quelle synthèse est la plus éco-responsable.

L'équation de la réaction de synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est la suivante:

Données:

Table de données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H · C–H · C=C · C=O

Nombre d'onde (en cm⁻¹) · 3200 – 3700 · 2850 – 3100 · 1620 – 1680 · 1650 – 1750

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte · Faible et fine · Forte et fine

Spectres à attribuer:

Données

• L'ion hydrogénocarbonate $\mathrm{HCO_3^-}$ est une espèce amphotère appartenant aux couples acide-base suivants: $\mathrm{HCO_3^-(aq)/CO_3^{2-}(aq)}$ et $(\mathrm{CO_2(g),H_2O(l)})/\mathrm{HCO_3^-(aq)}$.

• Données physico-chimiques à 20 °C et données de sécurité:

Dans la suite de l'exercice on compare trois protocoles de synthèse.

Protocole A: synthèse avec montage de chauffage à reflux

• Étape 1: dans un ballon on introduit 22 mL de 3-méthylbutan-1-ol, 15 mL d'acide éthanoïque pur et 10 gouttes d'acide sulfurique concentré, ainsi que quelques grains de pierre ponce.

• Étape 2: le mélange est chauffé à reflux pendant 45 minutes puis refroidi à la température ambiante.

• Étape 3: la phase organique est ensuite lavée avec une solution aqueuse saturée de chlorure de sodium puis avec une solution aqueuse d'hydrogénocarbonate de sodium. La phase organique est alors séchée à l'aide de sulfate de magnésium anhydre.

• La masse d'éthanoate de 3-méthylbutyle obtenue est $m_B = 19{,}7\text{ g}$.

Q4.

Nommer les étapes 2 et 3 du protocole A.

Q5.

L'acide sulfurique concentré est utilisé comme catalyseur dans ce protocole.

Préciser le sens du mot catalyseur.

Q6.

Préciser l'utilité du montage de chauffage à reflux dans ce protocole.

Q7.

Lors du second lavage de l'étape 3 du protocole, on observe un dégagement gazeux.

À l'aide des données, proposer une explication à cette observation et justifier l'utilité de cette étape.

Q8.

Déterminer le réactif limitant utilisé dans le protocole A puis calculer le rendement de la synthèse réalisée en suivant ce protocole.

%

Dans les protocoles B et C, les étapes 1 et 3 sont identiques à celles du protocole A mais l'étape 2 est modifiée comme indiqué ci-dessous:

Le chauffe-ballon utilisé dans les protocoles A et C lors de l'étape 2 consomme une énergie de $4{,}1\times 10^5\text{ J}$.

Q9.

Calculer l'énergie utilisée pour chauffer le mélange réactionnel dans le protocole B. Commenter.

Q10.

L'objectif de la chimie verte est de réduire l'impact de la chimie sur la santé humaine et l'environnement.

À l'aide de la figure 1, identifier, en le justifiant, quel protocole répond le mieux aux principes directeurs de la chimie verte.

Le sachet de médicament étudié contient de l'aspirine sous la forme d'un composé ionique, l'acétylsalicylate de DL-lysine.

EXERCICE 3 - UNE FORMULATION DE L'ASPIRINE (4 points)

L'aspirine est le nom commercial de l'acide acétylsalicylique. L'aspirine est utilisée depuis le début du XX e siècle comme principe actif analgésique (antidouleur) et antipyrétique (contre la fièvre). Il s'agit encore aujourd'hui d'un des médicaments les plus consommés au monde.

Cet exercice a pour objectif d'étudier un sachet de médicament contenant de l'acide acétylsalicylique.

Données

extrait de la notice d'un sachet de médicament contenant de l'acide acétylsalicylique: Utilisation: sachet dose de 1,0 g à dissoudre dans l'eau

Principe actif: ion acétylsalicylate

Composition: 900 mg d'acétylsalicylate de DL-lysine équivalent à un apport de 500 mg en acide acétylsalicylique

en dissolvant un sachet de médicament dans 40 mL d'eau, on obtient une solution de pH = 5,0;

couple acide-base (acide acétylsalicylique / ion acétylsalicylate): p$K_A$ = 3,5 à 25 °C;

propriétés de quelques espèces chimiques: · Acide acétylsalicylique · DL-Lysine

Formule topologique

Formule brute · C 9 H 8 O 4 · C 6 H 14 N 2 O 2

Masse molaire (g·mol -1) · 180,2 · 146,2

diagramme de prédominance (sans souci d'échelle) de la DL-Lysine: Diagramme de prédominance de la DL-Lysine en fonction du pH

cercle chromatique: Cercle chromatique avec longueurs d'onde associées

pour décider si le résultat d'une mesure est en accord avec une valeur de référence, on utilise le quotient $$\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$$ avec $x$, la valeur mesurée; $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$, l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Q1.

Représenter la formule semi-développée de l'ion acétylsalicylate.

Q2.

La DL-lysine appartient à la famille des acides aminés. Proposer une explication.

Q3.

Indiquer la forme prédominante des espèces associées à l'acide acétylsalicylique et à la DL-lysine présentes dans la solution de médicament obtenue après dissolution du contenu du sachet dans l'eau.

Q4.

Justifier alors que le titrage acide-base de cette solution aqueuse de médicament par une solution d'acide fort ne permet pas de déterminer directement la quantité de matière de l'ion acétylsalicylate en solution.

EXERCICE 3 - UNE FORMULATION DE L'ASPIRINE (4 points)

L'aspirine est le nom commercial de l'acide acétylsalicylique. L'aspirine est utilisée depuis le début du XX e siècle comme principe actif analgésique (antidouleur) et antipyrétique (contre la fièvre). Il s'agit encore aujourd'hui d'un des médicaments les plus consommés au monde.

Cet exercice a pour objectif d'étudier un sachet de médicament contenant de l'acide acétylsalicylique.

Données

extrait de la notice d'un sachet de médicament contenant de l'acide acétylsalicylique: Utilisation: sachet dose de 1,0 g à dissoudre dans l'eau

Principe actif: ion acétylsalicylate

Composition: 900 mg d'acétylsalicylate de DL-lysine équivalent à un apport de 500 mg en acide acétylsalicylique

en dissolvant un sachet de médicament dans 40 mL d'eau, on obtient une solution de pH = 5,0;

couple acide-base (acide acétylsalicylique / ion acétylsalicylate): p$K_A$ = 3,5 à 25 °C;

propriétés de quelques espèces chimiques: · Acide acétylsalicylique · DL-Lysine

Formule topologique

Formule brute · C 9 H 8 O 4 · C 6 H 14 N 2 O 2

Masse molaire (g·mol -1) · 180,2 · 146,2

diagramme de prédominance (sans souci d'échelle) de la DL-Lysine: Diagramme de prédominance de la DL-Lysine en fonction du pH

cercle chromatique: Cercle chromatique avec longueurs d'onde associées

pour décider si le résultat d'une mesure est en accord avec une valeur de référence, on utilise le quotient $$\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$$ avec $x$, la valeur mesurée; $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$, l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

On souhaite réaliser le dosage spectrophotométrique par étalonnage de l'espèce colorée B obtenue à l'issue de l'étape 2. On admet que seule l'espèce B absorbe dans le domaine du visible.

Pour cela, on utilise une solution mère de l'espèce colorée B, à partir de laquelle on prépare par dilution 6 solutions étalons de concentrations connues. L'une de ces solutions étalons permet de réaliser le spectre d'absorption donné sur la figure 2. On mesure l'absorbance, à la longueur d'onde λ appropriée, de chaque solution étalon. Les résultats sont donnés en figure 3.

Q5.

Proposer une valeur de la longueur d'onde appropriée pour le dosage par étalonnage et en déduire la couleur de la solution contenant l'espèce B.

nm

La mesure de l'absorbance de la solution S obtenue à partir du sachet de médicament donne A = 0,80.

Q6.

En considérant que l'incertitude-type associée à la détermination de la masse a pour valeur u(m) = 30 mg, vérifier si la masse équivalente $m_{exp}$ d'acide acétylsalicylique présente dans le sachet est en accord avec les informations présentes sur la notice.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.