Exercice 1 - Lunette astronomique · Bac Physique-Chimie Métropole 2023 (sujet 1)

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

1. Observation de Saturne par Huygens

La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées $L_1$ et $L_2$. La lentille $L_1$ représente l'objectif et la lentille $L_2$ l'oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés $O_1$ et $O_2$ et leurs distances focales respectives sont notées $f'_1$ et $f'_2$.

Q1.

Préciser le sens du terme « afocal ».

Q2-Q3-Q5.

Sur la figure A1 de l'annexe:

Q2. Placer les foyers objet $F_2$ et image $F'_2$ de la lentille $L_2$ dans le cas d'une lunette afocale.

Q3. Construire la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l'image intermédiaire $A_1B_1$.

Q5. Placer l'angle $\theta'$ sur la figure A1.

Q4.

La lunette de Huygens est constituée d'un tube long de $372\text{ cm}$. Comme indiqué sur la figure 4, l'oculaire est placé à une extrémité du tube. L'objectif quant à lui est enfoncé de $36\text{ cm}$ par rapport à l'autre extrémité, afin de le protéger de la buée.

Vérifier, à partir des données, que la lunette d'Huygens peut être considérée comme « afocale ».

Q6.

L'angle $\theta$, représenté sur la figure A1, désigne l'angle sous lequel l'espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l'œil nu depuis la Terre (voir figure 5). On note $\theta'$ l'angle sous lequel un observateur voit l'image A'B' de l'espace AB, à travers la lunette astronomique.

Donner l'expression du grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette de Huygens en fonction des angles $\theta$ et $\theta'$.

Q7.

Montrer que le grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette de Huygens s'exprime en fonction des distances focales des lentilles $L_1$ et $L_2$ constituant la lunette: $$G_{\text{Huy}} = \frac{f'_1}{f'_2}$$

Q8.

Calculer la valeur du grossissement $G_{\text{Huy}}$ de la lunette utilisée par Huygens.

Q9.

Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à $D_{\text{A-B}} = 3{,}17\times 10^4\text{ km}$.