Sujet du Bac Physique-Chimie 2023 · Métropole 1 remplacement

EXERCICE 1 - OBSERVATION ORNITHOLOGIQUE D'UNE OIE CENDRÉE (11 points)

Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux, suivies d'analyse d'échantillons récoltés comme par exemple des plumes.

Cet exercice s'intéresse dans un premier temps à l'observation d'une oie cendrée à l'œil nu et à l'aide d'une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d'interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d'une plume d'oie.

Données:

taille approximative d'une oie cendrée: 80 cm;

taille approximative du bec d'une oie cendrée: 7 cm;

distance focale de l'objectif $L_1$ de la longue-vue: $f_1' = 450$ mm;

distance focale de l'oculaire $L_2$ de la longue-vue: $f_2' = 30$ mm;

relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O: $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ où $\overline{OA'}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A', $\overline{OA}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et $f'$ est la distance focale de la lentille;

grandissement transversal $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ où $\overline{A'B'}$ est la taille algébrique de l'image A'B' et $\overline{AB}$ est celle de l'objet AB;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\sin\theta = \theta$; $\tan\theta = \theta$.

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association:

d'une lentille mince convergente L, d'axe optique $\Delta$, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O;

d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O.

Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l'œil

La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

La rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F'.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Figure 2. L'objet AB est vu sous un angle α par l'œil. Il peut être distinctement vu par l'œil si $\alpha > \alpha_m$

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association d'une lentille mince convergente L, d'axe optique Δ, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O; et d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O. La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

Q1.

Justifier que la position de l'image A'B' de l'oie par la lentille L est telle que $\overline{OA'} = 17$ mm.

Q2.

Vérifier que la taille de l'image A'B' de l'oie sur la rétine de l'observateur est voisine de 49 μm. Sachant que la rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F', préciser si l'oie est vue en entier par un observateur.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Q3.

Déterminer la distance minimale séparant deux points A et B d'un objet pouvant être vus lorsqu'ils sont situés à une distance de 280 m de l'œil. En déduire si l'oie peut être vue distinctement par l'observateur à l'œil nu puis déterminer si le bec de l'oie peut être observé distinctement.

2. Observation avec une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale

L'oie est désormais observée à l'aide d'une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale. Cette lunette est composée d'une lentille $L_1$ de distance focale $f_1'$ jouant le rôle de l'objectif et d'une lentille $L_2$ de distance focale $f_2'$ jouant le rôle de l'oculaire. On considère que l'oie, modélisée par un objet AB perpendiculaire à l'axe optique en A, est « à l'infini ». L'image de AB à travers la lentille $L_1$ est notée $A_1B_1$. L'image de $A_1B_1$ à travers la lentille $L_2$ est notée $A_2B_2$.

Figure A1 (annexe à compléter):

Q4-Q5.

Q4. Compléter la figure A1 de l'ANNEXE pour représenter l'image $A_1B_1$ formée par la lentille $L_1$ d'un objet AB (représentant l'oie situé à l'infini). Q5. Placer, en justifiant, le foyer objet $F_2$ de la lentille $L_2$ sur la figure A1 de l'ANNEXE.

Une lunette astronomique est caractérisée par son grossissement d'expression:

$$G = \frac{\alpha'}{\alpha}$$

avec $\alpha$ l'angle sous lequel l'objet AB est vu à l'œil nu et $\alpha'$ l'angle sous lequel l'image $A_2B_2$ est vue à travers la lunette astronomique afocale.

Q6.

En considérant les angles $\alpha$ et $\alpha'$ exprimés en radians comme petits, montrer que le grossissement de la lunette astronomique afocale peut s'exprimer par la relation $G = \frac{f_1'}{f_2'}$.

Q7.

Calculer la valeur du grossissement G de la lunette astronomique afocale.

Q8.

Indiquer en justifiant si l'observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l'oie situé à 280 m.

EXERCICE 1 - OBSERVATION ORNITHOLOGIQUE D'UNE OIE CENDRÉE (11 points)

Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux, suivies d'analyse d'échantillons récoltés comme par exemple des plumes.

Cet exercice s'intéresse dans un premier temps à l'observation d'une oie cendrée à l'œil nu et à l'aide d'une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d'interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d'une plume d'oie.

Données:

taille approximative d'une oie cendrée: 80 cm;

taille approximative du bec d'une oie cendrée: 7 cm;

distance focale de l'objectif $L_1$ de la longue-vue: $f_1' = 450$ mm;

distance focale de l'oculaire $L_2$ de la longue-vue: $f_2' = 30$ mm;

relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O: $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ où $\overline{OA'}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A', $\overline{OA}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et $f'$ est la distance focale de la lentille;

grandissement transversal $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ où $\overline{A'B'}$ est la taille algébrique de l'image A'B' et $\overline{AB}$ est celle de l'objet AB;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\sin\theta = \theta$; $\tan\theta = \theta$.

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association:

d'une lentille mince convergente L, d'axe optique $\Delta$, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O;

d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O.

Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l'œil

La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

La rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F'.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Figure 2. L'objet AB est vu sous un angle α par l'œil. Il peut être distinctement vu par l'œil si $\alpha > \alpha_m$

3. Structure de la plume d'oie cendrée

Pour identifier l'espèce d'un oiseau, la plume est une des parties du corps de l'animal qu'il est possible d'étudier. Les plumes d'oiseaux possèdent des structures géométriques périodiques à des échelles différentes, qu'il est possible d'étudier par des méthodes interférométriques.

L'expérience des fentes d'Young permet d'obtenir sur un écran une figure d'interférences constituée d'une succession de franges brillantes et sombres qui se répartissent sur un axe de direction parallèle à la droite joignant les deux fentes. La figure 4 donne une schématisation d'une expérience des fentes d'Young, de centres $F_1$ et $F_2$, ainsi qu'une photographie de la figure d'interférences obtenue.

Un faisceau lumineux issu d'un laser de longueur d'onde $\lambda$, éclaire un objet plan totalement opaque en dehors de deux fentes, séparées d'une distance notée $b$. Cet objet est appelé objet « fentes d'Young ». Le faisceau est constitué d'un ensemble de rayons parallèles, et se propage parallèlement à l'axe optique $(OO')$, le point $O$ étant à égale distance des points $F_1$ et $F_2$. Les ondes issues des fentes interfèrent sur l'écran. En un point M de celui-ci, on admet que la différence de chemin optique entre les deux ondes s'écrit $\delta = F_2M - F_1M$ (voir figure 4). L'écran est situé à une distance $D$ des fentes très grande devant la distance $b$ ($D \gg b$).

Q9.

Préciser la condition que doit vérifier la différence de chemin optique $\delta$ pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M. Indiquer en justifiant si dans ce cas la frange au point O' est brillante ou sombre.

Sur la figure 5, le point H représente le projeté orthogonal de $F_1$ sur le segment $[F_2M]$. On admet que la différence de chemin optique $\delta$ est égale à la longueur du segment $[F_2H]$.

Q10.

Montrer que, dans les conditions de l'expérience ($\theta \ll 1$ rad), il est possible d'exprimer la différence de chemin optique par la relation suivante: $$\delta = b\cdot\theta$$

On montre, avec une très bonne approximation, que l'angle $\theta$ est égal à l'angle $\widehat{O'OM}$ dans le triangle rectangle $O'OM$ représenté sur la figure 6. L'abscisse du point M sur l'axe $O'x$ est notée $x$.

Q11.

Après avoir exprimé l'angle $\theta$ en fonction de $D$ et $x$, montrer que la différence de chemin optique $\delta$ a pour expression: $$\delta = \frac{b\cdot x}{D}$$

Q12.

En déduire l'expression des abscisses $x_k$ des franges brillantes, en fonction de $\lambda$, $D$, $b$ et d'un entier relatif $k$.

Q13.

Montrer que l'interfrange $i$ est donnée par l'expression littérale suivante: $$i = \frac{\lambda\cdot D}{b}$$

La figure 7 montre qu'une plume d'oie est composée d'un ensemble de barbes (tiges) fixées sur le rachis (axe principal de la plume d'oie). Les barbes supportent des éléments plus petits et fins, invisibles à l'œil nu, appelés barbules. Les barbes sont régulièrement espacées d'une distance notée $b_{barbe}$, les barbules sont également régulièrement espacées d'une distance notée $b_{barbule}$ (voir figure 7) et sont dans une direction pratiquement perpendiculaire à celle des barbes. Les barbules sont plus resserrées que les barbes, on a donc $b_{barbule} < b_{barbe}$.

On réalise la même expérience que celle décrite dans la figure 4 en remplaçant l'objet « fentes d'Young » par une plume d'oie, éclairée avec un laser dont la longueur d'onde est $\lambda = 650$ nm. L'écran est placé à une distance $D = 74$ cm de la plume. On obtient alors une figure d'interférences dont la photographie (en négatif) est donnée sur la figure A2 de l'annexe.

L'écran est rapporté à un repère d'origine O' et d'axes O'x et O'y orthogonaux. Dans un modèle très simplifié, il est possible de montrer que les interférences sont constructives uniquement en des points de coordonnées $(x_k, y_\ell)$, vérifiant les relations $$x_k = k\cdot\frac{\lambda\cdot D}{b_{barbe}} \quad \text{et} \quad y_\ell = \ell\cdot\frac{\lambda\cdot D}{b_{barbule}}$$ où $k$ et $\ell$ sont des entiers relatifs. Le modèle prévoit que seulement certains de ces points sont lumineux du fait de détails de la géométrie des plumes auxquels on ne s'intéresse pas ici.

Q14.

Montrer que le modèle simplifié permet d'expliquer certaines caractéristiques de la figure d'interférences observée sur la figure A2 de l'annexe. Dans les cases vides de cette figure, identifier, en justifiant, l'axe O'x puis l'axe O'y.

Q15.

En exploitant la figure A2 de l'annexe, évaluer les valeurs des interfranges $i_1$ et $i_2$ puis en déduire les valeurs des espacements $b_{barbule}$ et $b_{barbe}$.

Exercice 2 – Étude d'une chaufferette

Les chaufferettes sont de petites pochettes très pratiques à glisser dans les poches d'un manteau ou dans les gants pour se réchauffer en hiver car elles permettent de dégager de l'énergie thermique pendant une durée limitée.

Le dispositif étudié dans cet exercice est constitué d'une pochette en plastique contenant une pastille métallique et une solution aqueuse très concentrée d'éthanoate de sodium. Dans ces conditions, il suffit de tordre la pastille pour que l'éthanoate de sodium précipite. Cette transformation est exothermique.

Après utilisation, on peut « régénérer » la chaufferette en la chauffant, au bain-marie par exemple, et en la laissant doucement refroidir sans perturbation pour éviter la précipitation.

Cet exercice a pour objectif de déterminer, à l'aide d'un titrage suivi par conductimétrie, le titre massique en éthanoate de sodium du contenu d'une chaufferette commerciale.

Données

Masse molaire de l'éthanoate de sodium (Na$^+$; CH$_3$CO$_2^-$): $M = 82{,}0$ g·mol$^{-1}$

Concentration maximale de l'éthanoate de sodium dans l'eau (solubilité): $s = 365$ g·L$^{-1}$

Valeurs de la conductivité molaire ionique à 25 °C de quelques ions:

Ions · H$_3$O$^+$ · Cl$^-$ · Na$^+$ · CH$_3$CO$_2^-$

$\lambda$ en mS·m$^2$·mol$^{-1}$ · 35,0 · 7,6 · 5,0 · 4,1

À partir de la solution d'éthanoate de sodium (Na$^+$; CH$_3$CO$_2^-$) présente dans la chaufferette, on prépare 50,0 mL de solution diluée 25 fois. On note S la solution obtenue.

Q1.

Décrire le protocole expérimental permettant de préparer la solution S. Indiquer, en justifiant, les volumes de la verrerie utilisée.

On réalise un titrage avec suivi conductimétrique de la solution S. Pour cela un volume $V_S = 10{,}0$ mL de solution S est prélevé puis versé dans un bécher auquel sont ajoutés environ 250 mL d'eau distillée. L'ensemble est alors titré par une solution aqueuse titrante d'acide chlorhydrique de concentration $C = 2{,}0\times 10^{-1}$ mol·L$^{-1}$.

La réaction support du titrage a pour équation: CH$_3$CO$_2^-$(aq) + H$_3$O$^+$(aq) → CH$_3$CO$_2$H(aq) + H$_2$O($\ell$).

La conductivité $\sigma$ de la solution contenue dans le bécher est mesurée après chaque ajout de solution aqueuse titrante d'acide chlorhydrique. Les résultats expérimentaux obtenus sont reproduits en figure 1 ci-dessous.

Q2.

Reproduire le tableau ci-dessous. Décrire, dans chacune des cases, l'évolution des concentrations des ions dans le bécher lorsque l'on ajoute de l'acide chlorhydrique (« reste constante »; « reste négligeable »; « augmente »; « diminue »). On néglige l'effet de dilution dû à l'ajout de la solution d'acide chlorhydrique dans le bécher.

Concentrations · Avant l'équivalence · Après l'équivalence

[Na$^+$]

[CH$_3$CO$_2^-$]

[H$_3$O$^+$]

[Cl$^-$]

Q3.

En utilisant les conductivités molaires ioniques des espèces présentes, justifier sans calcul l'allure de la courbe de la figure 1.

Q4.

Déterminer, en justifiant à l'aide d'un schéma, la valeur du volume de solution aqueuse titrante versé à l'équivalence du titrage.

Q5.

Justifier que la solution contenue dans la chaufferette est sursaturée, c'est-à-dire que sa concentration en masse de soluté est supérieure à sa solubilité $s$.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

EXERCICE 3 - UN SAVON FAIT MAISON (5 points)

Le savon est un produit d'hygiène connu depuis l'Antiquité. Concurrencé de nos jours par les savons liquides, le savon solide reste très utilisé pour se laver les mains et peut être fabriqué à la maison. La transformation chimique qui en permet la fabrication est la saponification: un corps gras, comme l'huile d'olive, est hydrolysé en milieu basique pour former le savon et du glycérol.

L'objectif de cet exercice est d'analyser un protocole de saponification à froid proposé par un site internet et de le comparer à un protocole de saponification artisanale historique.

Données:

dans tout l'exercice, on considère que l'huile d'olive est uniquement constituée d'oléine;

masse volumique de l'huile d'olive: $\rho = 0{,}91\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}$;

caractéristiques des espèces chimiques utilisées:

la saponification de l'oléine est considérée comme totale. L'équation de la réaction modélisant cette transformation est donnée ci-dessous:

1. Un savon surgras fait maison

Q1.

Nommer la famille chimique à laquelle appartient la molécule d'oléine et préciser son groupe caractéristique.

Q2.

Donner la formule brute du glycérol, noté A dans l'équation de saponification de l'oléine.

Q3.

On donne sur la figure 1 ci-dessous la formule topologique de l'ion oléate, qui possède des propriétés lavantes. Cette molécule est amphiphile: elle possède une partie hydrophile, entourée sur la figure 1, et une partie lipophile qui correspond à la chaîne carbonée. Une représentation schématique de cette molécule est également donnée sur la figure 1.

Choisir parmi les deux schémas ci-dessous, celui qui illustre les propriétés lavantes des savons. Justifier ce choix.

EXERCICE 3 - UN SAVON FAIT MAISON (5 points)

Le savon est un produit d'hygiène connu depuis l'Antiquité. Concurrencé de nos jours par les savons liquides, le savon solide reste très utilisé pour se laver les mains et peut être fabriqué à la maison. La transformation chimique qui en permet la fabrication est la saponification: un corps gras, comme l'huile d'olive, est hydrolysé en milieu basique pour former le savon et du glycérol.

L'objectif de cet exercice est d'analyser un protocole de saponification à froid proposé par un site internet et de le comparer à un protocole de saponification artisanale historique.

Données:

dans tout l'exercice, on considère que l'huile d'olive est uniquement constituée d'oléine;

masse volumique de l'huile d'olive: $\rho = 0{,}91\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}$;

caractéristiques des espèces chimiques utilisées:

la saponification de l'oléine est considérée comme totale. L'équation de la réaction modélisant cette transformation est donnée ci-dessous:

1. Un savon surgras fait maison

Protocole

On donne ci-dessous un protocole de fabrication d'un savon à base d'huile d'olive élaboré à partir d'un site internet: introduire 50 mL d'eau dans un bécher et ajouter très doucement 25 g d'hydroxyde de sodium solide en agitant régulièrement jusqu'à dissolution complète; verser doucement 220 mL d'huile d'olive en agitant pendant une heure pour obtenir une pâte épaisse; couler la pâte dans un moule, recouvrir hermétiquement de film alimentaire; après 48 h, démouler le solide et laisser à l'air libre au moins 6 semaines pour obtenir le savon.

Ce protocole est accompagné d'une consigne importante: « la saponification est dangereuse et nécessite de porter une blouse, des lunettes de protection et des gants ».

Q4.

Déterminer la concentration en quantité de matière de la solution d'hydroxyde de sodium préparée dans la première étape du protocole en supposant que la dissolution s'effectue sans variation de volume. Commenter.

Q5.

Indiquer, en justifiant, l'évolution attendue du pH du milieu au cours de la fabrication du savon.

Q6.

Déterminer la masse restante d'oléine à l'état final. On peut par exemple s'appuyer sur un tableau d'avancement.

On appelle surgraissage le pourcentage en masse d'huile non saponifiée lors de la fabrication du savon. La plupart des savons ont un surgraissage compris entre 5 % et 10 %.

Q7.

Déterminer le surgraissage du savon obtenu par cette méthode.

2. Fabrication artisanale du savon

Le procédé historique de fabrication du savon de Marseille est décrit dans le Traité complet de la fabrication des savons écrit par G. Eugène Lormé en 1859.

On donne ci-dessous les étapes décrites dans le traité: le mélange d'un excès de soude et d'huile d'olive est porté à ébullition pendant une dizaine d'heures; de l'eau salée est ajoutée au milieu réactionnel (relargage); de la soude est ajoutée au savon très chaud pour qu'il gagne en consistance et en pureté, puis il est lavé plusieurs fois à l'eau, le savon est enfin laissé à l'air libre plusieurs semaines pour sécher.

Q8.

Expliquer, en utilisant les données, l'intérêt du relargage.

Q9.

Identifier dans le protocole de la partie ci-dessus, la stratégie choisie permettant d'optimiser le procédé par rapport à celle de la fabrication maison du savon de la partie 1.

On donne ci-dessous la copie d'un extrait du Traité complet de la fabrication des savons et son adaptation.

Ce « savon épuré » a pour composition massique:

· % massique moyen

oléate de sodium · 50,2

hydroxyde de sodium · 4,6

eau · 45,2

total · 100,0

Q10.

Après avoir calculé la masse d'oléate de sodium présente dans le « savon épuré », déterminer le rendement maximal de la fabrication du savon obtenu par le procédé artisanal.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.