Sujet du Bac Physique-Chimie 2023 · Métropole 2 remplacement

EXERCICE 1 - JUSTE UNE IMPRESSION GUSTATIVE ? (9 points)

Il existe plus de 7 000 variétés de pommes à la texture et au goût variés. Lors de leur dégustation, certaines semblent plus acides que d'autres, entraînant une sensation moins sucrée en bouche.

L'objectif de cet exercice est de comparer la teneur en sucre et en acide de jus de plusieurs variétés de pommes, afin de voir s'il existe un lien entre ces deux teneurs et l'impression gustative que ces pommes laissent en bouche.

1. Étude de l'acidité d'un jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents acides comme l'acide malique, l'acide tartrique et l'acide citrique. L'acide malique étant majoritairement présent, on émet l'hypothèse dans cette première partie qu'il est le seul acide présent dans le jus de pomme étudié.

Données:

formule semi-développée de l'acide malique:

l'acide malique C 4 H 6 O 5 est un diacide que l'on notera H 2 A;

masse molaire de l'acide malique: M (H 2 A) = 134,0 g·mol -1;

valeurs des p K A à 25 °C des couples acide-base associés à l'acide malique: H 2 A(aq) / HA - (aq): p K A1 = 3,5;

HA - (aq) / A 2- (aq): p K A2 = 5,1.

On souhaite déterminer la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié. Pour cela on réalise un titrage, avec suivi pH-métrique, d'un volume V A = 20,0 mL de ce jus par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration C B = 1,0×10 -1 mol·L -1.

1. Étude de l'acidité d'un jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents acides comme l'acide malique, l'acide tartrique et l'acide citrique. L'acide malique étant majoritairement présent, on émet l'hypothèse dans cette première partie qu'il est le seul acide présent dans le jus de pomme étudié.

Q1. Représenter la formule topologique de la molécule d'acide malique, puis entourer les groupes caractéristiques correspondantes.

EXERCICE 1 - JUSTE UNE IMPRESSION GUSTATIVE ? (9 points)

Il existe plus de 7 000 variétés de pommes à la texture et au goût variés. Lors de leur dégustation, certaines semblent plus acides que d'autres, entraînant une sensation moins sucrée en bouche.

L'objectif de cet exercice est de comparer la teneur en sucre et en acide de jus de plusieurs variétés de pommes, afin de voir s'il existe un lien entre ces deux teneurs et l'impression gustative que ces pommes laissent en bouche.

1. Étude de l'acidité d'un jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents acides comme l'acide malique, l'acide tartrique et l'acide citrique. L'acide malique étant majoritairement présent, on émet l'hypothèse dans cette première partie qu'il est le seul acide présent dans le jus de pomme étudié.

Données:

formule semi-développée de l'acide malique:

l'acide malique C 4 H 6 O 5 est un diacide que l'on notera H 2 A;

masse molaire de l'acide malique: M (H 2 A) = 134,0 g·mol -1;

valeurs des p K A à 25 °C des couples acide-base associés à l'acide malique: H 2 A(aq) / HA - (aq): p K A1 = 3,5;

HA - (aq) / A 2- (aq): p K A2 = 5,1.

On souhaite déterminer la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié. Pour cela on réalise un titrage, avec suivi pH-métrique, d'un volume V A = 20,0 mL de ce jus par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration C B = 1,0×10 -1 mol·L -1.

On souhaite déterminer la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié. Pour cela on réalise un titrage, avec suivi pH-métrique, d'un volume $V_\text{A} = 20{,}0\text{ mL}$ de ce jus par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $C_\text{B} = 1{,}0 \times 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

Q2.

Schématiser et légender le montage permettant de réaliser ce titrage, en indiquant le nom et la position des espèces titrante et titrée.

Q3.

Établir le diagramme de prédominance des différentes formes acide-base associées à l'acide malique.

La courbe obtenue lors du titrage de l'acide malique dans le jus de pomme Granny Smith est donnée en figure 1.

Q4.

Déterminer graphiquement le pH de la solution à la fin du titrage. Identifier alors, parmi les deux équations proposées ci-dessous, la réaction support du titrage:

(1) $\text{H}_2\text{A(aq)} + \text{HO}^-\text{(aq)} \rightarrow \text{HA}^-\text{(aq)} + 2\,\text{H}_2\text{O}(\ell)$

(2) $\text{H}_2\text{A(aq)} + 2\,\text{HO}^-\text{(aq)} \rightarrow \text{A}^{2-}\text{(aq)} + 2\,\text{H}_2\text{O}(\ell)$

1

$\text{H}_2\text{A(aq)} + \text{HO}^-\text{(aq)} \rightarrow \text{HA}^-\text{(aq)} + 2\,\text{H}_2\text{O}(\ell)$

2

$\text{H}_2\text{A(aq)} + 2\,\text{HO}^-\text{(aq)} \rightarrow \text{A}^{2-}\text{(aq)} + 2\,\text{H}_2\text{O}(\ell)$

Q5.

Montrer que la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié est de $6{,}4\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}$. Détailler la démarche et préciser la valeur du volume à l'équivalence $V_\text{E}$ utilisée.

EXERCICE 1 - JUSTE UNE IMPRESSION GUSTATIVE ? (9 points)

Il existe plus de 7 000 variétés de pommes à la texture et au goût variés. Lors de leur dégustation, certaines semblent plus acides que d'autres, entraînant une sensation moins sucrée en bouche.

L'objectif de cet exercice est de comparer la teneur en sucre et en acide de jus de plusieurs variétés de pommes, afin de voir s'il existe un lien entre ces deux teneurs et l'impression gustative que ces pommes laissent en bouche.

1. Étude de l'acidité d'un jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents acides comme l'acide malique, l'acide tartrique et l'acide citrique. L'acide malique étant majoritairement présent, on émet l'hypothèse dans cette première partie qu'il est le seul acide présent dans le jus de pomme étudié.

Données:

formule semi-développée de l'acide malique:

l'acide malique C 4 H 6 O 5 est un diacide que l'on notera H 2 A;

masse molaire de l'acide malique: M (H 2 A) = 134,0 g·mol -1;

valeurs des p K A à 25 °C des couples acide-base associés à l'acide malique: H 2 A(aq) / HA - (aq): p K A1 = 3,5;

HA - (aq) / A 2- (aq): p K A2 = 5,1.

On souhaite déterminer la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié. Pour cela on réalise un titrage, avec suivi pH-métrique, d'un volume V A = 20,0 mL de ce jus par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration C B = 1,0×10 -1 mol·L -1.

Données:

spectre d'absorbance d'une solution aqueuse de diiode:

cercle chromatique:

Q8. Justifier la couleur de la solution aqueuse de diiode.

EXERCICE 1 - JUSTE UNE IMPRESSION GUSTATIVE ? (9 points)

Il existe plus de 7 000 variétés de pommes à la texture et au goût variés. Lors de leur dégustation, certaines semblent plus acides que d'autres, entraînant une sensation moins sucrée en bouche.

L'objectif de cet exercice est de comparer la teneur en sucre et en acide de jus de plusieurs variétés de pommes, afin de voir s'il existe un lien entre ces deux teneurs et l'impression gustative que ces pommes laissent en bouche.

1. Étude de l'acidité d'un jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents acides comme l'acide malique, l'acide tartrique et l'acide citrique. L'acide malique étant majoritairement présent, on émet l'hypothèse dans cette première partie qu'il est le seul acide présent dans le jus de pomme étudié.

Données:

formule semi-développée de l'acide malique:

l'acide malique C 4 H 6 O 5 est un diacide que l'on notera H 2 A;

masse molaire de l'acide malique: M (H 2 A) = 134,0 g·mol -1;

valeurs des p K A à 25 °C des couples acide-base associés à l'acide malique: H 2 A(aq) / HA - (aq): p K A1 = 3,5;

HA - (aq) / A 2- (aq): p K A2 = 5,1.

On souhaite déterminer la concentration en masse d'acide malique dans le jus de pomme étudié. Pour cela on réalise un titrage, avec suivi pH-métrique, d'un volume V A = 20,0 mL de ce jus par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration C B = 1,0×10 -1 mol·L -1.

2. Dosage du glucose dans le jus de pomme Granny Smith

Une pomme contient différents sucres, notamment le glucose de formule brute $C_6H_{12}O_6$. Dans cette partie, on souhaite doser le glucose présent dans le jus de pomme Granny Smith identique à celui de la partie 1.

Données:

Protocole expérimental:

- introduire 10,0 mL de jus de pomme dans une fiole jaugée de 50 mL, puis compléter avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge. On obtient la solution nommée $S_0$;

- introduire, dans un bécher, 10,0 mL de solution $S_0$, puis ajouter 20,0 mL d'une solution aqueuse de diiode, de concentration $[I_2] = 5{,}0\times 10^{-2}$ mol·L⁻¹, et une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium jusqu'à obtenir un volume $V_1 = 75{,}0$ mL. Mettre sous agitation pendant 60 minutes. On appelle $S_1$ la solution obtenue.

On modélise la transformation ayant lieu dans la solution $S_1$, supposée totale, par la réaction d'équation:

$$I_2(aq) + 3\ HO^-(aq) + C_6H_{12}O_6(aq) \rightarrow C_6H_{11}O_7^-(aq) + 2\ H_2O(\ell) + 2\ I^-(aq)$$

Une solution aqueuse de diiode est de couleur jaune-brun et les autres espèces présentes sont incolores en solution aqueuse; masse molaire du glucose: $M(C_6H_{12}O_6) = 180{,}2$ g·mol⁻¹.

Spectre d'absorbance d'une solution aqueuse de diiode

Cercle chromatique

Q6.

Montrer que la quantité de matière de diiode $n_0(I_2)$ initialement présente dans la solution $S_1$ est proche de $1{,}0\times 10^{-3}$ mol.

mol

Q7.

Sachant que le glucose est le réactif limitant de la réaction ayant lieu dans la solution $S_1$, montrer que la relation entre la quantité de matière finale de diiode $n_f(I_2)$, la quantité de matière initiale de glucose $n_0(C_6H_{12}O_6)$ et la quantité de matière initiale de diiode $n_0(I_2)$, est: $n_0(C_6H_{12}O_6) = n_0(I_2) - n_f(I_2)$

On veut déterminer la quantité de matière $n_f(I_2)$ dans la solution $S_1$ à l'aide d'un dosage spectrophotométrique selon le protocole décrit ci-dessous.

- Diluer la solution $S_1$ d'un facteur 10, on obtient la solution $S_2$.

- Préparer 6 solutions étalons de concentrations connues en diiode $I_2$ et en mesurer l'absorbance à la longueur d'onde appropriée; les mesures sont reportées sur le graphe de la figure A1.

- Mesurer l'absorbance de la solution $S_2$ à la même longueur d'onde.

On mesure une valeur d'absorbance $A = 0{,}619$ pour la solution $S_2$.

Q9.

En utilisant et en complétant la figure A1, montrer que $n_f(I_2)$ dans la solution $S_1$ est de l'ordre de $7\times 10^{-4}$ mol.

mol

Q10.

Déterminer alors la concentration en masse de glucose contenu dans le jus de pomme étudié.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

g·L⁻¹

3. Perception en bouche d'un jus de pomme

En plus du glucose, le saccharose est un autre sucre présent dans le jus de pomme; il contribue également à la perception du goût sucré. La teneur en saccharose est évaluée en degré Brix (°B): un degré Brix équivaut à 1 g de saccharose dans 100 g de solution.

Pour évaluer la perception en bouche d'un jus de pomme, un des critères utilisés par les industriels est le rapport $R$, sans dimension, entre sa teneur en saccharose évaluée en degré Brix et son titre massique d'acide malique, noté $t_m$. Pour la majorité des consommateurs, on considère que l'équilibre entre les saveurs acides et sucrées est satisfaisant si ce rapport $R$ est compris entre 30 et 40.

Donnée: $$R = \frac{°B}{t_m}$$ avec °B le degré Brix et $t_m$ le titre massique en acide malique exprimé en pourcentage.

Variétés des pommes · $C_m$: Concentration en masse d'acide malique (g·L⁻¹) · Degré Brix (°B) · $R$

Granny Smith · 6,4 · 12,0 · ?

Pink Lady · 5,2 · 13,0 · 25

Chantecler · 4,5 · 12,7 · 28

Golden · 3,5 · 12,9 · 37

Royal Gala · 2,5 · 12,7 · 51

Q11.

Déterminer, en pourcentage, le titre massique $t_m$ d'acide malique dans le jus de pomme Granny Smith sachant que la masse volumique de ce jus de pomme est de $1{,}04\times 10^3$ g·L⁻¹. Vérifier que le rapport $R$ pour ce jus de pomme est inférieur à 25.

Q12.

Choisir en justifiant, parmi les trois représentations graphiques A, B et C ci-dessous de °B = f($C_m$), celle(s) qui pourrai(en)t traduire l'affirmation indiquée en début d'exercice: « Lors de leur dégustation, certaines semblent plus acides que d'autres, entraînant une sensation moins sucrée en bouche. »

Représentation

Les résultats du tableau des analyses de différentes variétés de pomme sont reportés sur le graphe de la figure A2.

Q13.

Entourer, parmi les variétés suivantes, celle correspondant à la mesure de la variété « Granny Smith » sur la figure A2.

Q14.

Commenter ce graphique au regard de l'existence potentielle d'un lien entre les teneurs °B et $C_m$ étudiées et l'impression gustative laissée en bouche.

EXERCICE 2 - MARS VUE SOUS L'ŒIL DE KEPLER (6 points)

Johannes Kepler (1571-1630) est un astronome allemand connu pour avoir établi les trois lois qui portent son nom et qui permettent notamment de décrire le mouvement des planètes du système solaire.

On étudie dans cet exercice la troisième loi de Kepler appliquée à la planète Mars, puis on détermine les caractéristiques d'une lunette astronomique permettant d'observer cette planète.

1. Étude et utilisation des lois de Kepler

Donnée:

valeur de l'unité astronomique (au, astronomical unit): 1 au = $1{,}496\times 10^{11}$ m.

En 1600, Kepler devient l'assistant de l'astronome danois Tycho Brahe. Celui-ci le charge d'étudier la trajectoire de Mars et de déterminer son orbite à l'aide des observations astronomiques et des mesures qu'il a lui-même effectuées. Cette tâche, longue et délicate, conduit Kepler à envisager une trajectoire elliptique pour Mars. Il publie ses deux premières lois en 1609, puis la troisième loi en 1618.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Le référentiel d'étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen: son origine est au centre du Soleil et ses axes pointent vers des étoiles lointaines.

Les périodes de révolution $T$ (en année) et les demi-grands axes $a$ (en unité astronomique) des trajectoires des planètes du système solaire (à l'exception de Mars) sont saisies dans un programme écrit en langage Python, afin de vérifier la troisième loi de Kepler. Un extrait de ce programme est donné sur la figure 2.

On étudie dans cet exercice la troisième loi de Kepler appliquée à la planète Mars, puis on détermine les caractéristiques d'une lunette astronomique permettant d'observer cette planète.

1. Étude et utilisation des lois de Kepler

Donnée

Valeur de l'unité astronomique (au): 1 au = 1,496×10^11 m

En 1600, Kepler devient l'assistant de l'astronome danois Tycho Brahe. Celui-ci le charge d'étudier la trajectoire de Mars et de déterminer son orbite à l'aide des observations astronomiques et des mesures qu'il a lui-même effectuées. Cette tâche, longue et délicate, conduit Kepler à envisager une trajectoire elliptique pour Mars. Il publie ses deux premières lois en 1609, puis la troisième loi en 1618.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Le référentiel d'étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen: son origine est au centre du Soleil et ses axes pointent vers des étoiles lointaines.

Q1.

Énoncer les deux premières lois de Kepler. En exploitant la deuxième loi et le schéma de la figure 1, justifier que le mouvement de Mars dans le référentiel héliocentrique n'est pas uniforme.

Les périodes de révolution T (en année) et les demi-grands axes a (en unité astronomique) des trajectoires des planètes du système solaire (à l'exception de Mars) sont saisies dans un programme écrit en langage Python, afin de vérifier la troisième loi de Kepler. Un extrait de ce programme est donné sur la figure 2.

Le programme permet d'obtenir une représentation graphique dont un zoom est proposé en figure 3.

Dans le tableau 1 sont regroupées les périodes de révolution (en s) et les demi-grands axes (en m) des trajectoires des planètes du système solaire (à l'exception de Mars):

· Mercure · Vénus · Terre · Jupiter · Saturne · Uranus · Neptune

T (en s) · 7,6×10^6 · 1,9×10^7 · 3,2×10^7 · 3,7×10^8 · 9,3×10^8 · 2,6×10^9 · 5,2×10^9

a (en m) · 5,7×10^10 · 1,1×10^11 · 1,5×10^11 · 7,8×10^11 · 1,4×10^12 · 2,9×10^12 · 4,5×10^12

Tableau 1. Périodes de révolution et demi-grands axes des trajectoires des planètes (d'après https://cnes.fr)

Q2.

Recopier sur la copie la ligne 8 du programme et la compléter.

Q3.

Proposer sur la copie un commentaire en précisant la finalité des lignes 16 et 17 du programme et les unités des grandeurs calculées.

Q4.

Commenter la figure 3 au regard des lois de Kepler.

À partir des relevés de Tycho Brahe, Kepler a pu déterminer que la période de révolution de Mars, notée $T_{Mars}$, était de 687 jours.

Q5.

Déterminer la valeur du demi-grand axe de l'orbite de Mars, noté $a_{Mars}$, et justifier qu'elle correspond à la quatrième planète du système solaire en partant du Soleil.

EXERCICE 2 - MARS VUE SOUS L'ŒIL DE KEPLER (6 points)

Johannes Kepler (1571-1630) est un astronome allemand connu pour avoir établi les trois lois qui portent son nom et qui permettent notamment de décrire le mouvement des planètes du système solaire.

On étudie dans cet exercice la troisième loi de Kepler appliquée à la planète Mars, puis on détermine les caractéristiques d'une lunette astronomique permettant d'observer cette planète.

1. Étude et utilisation des lois de Kepler

Donnée:

valeur de l'unité astronomique (au, astronomical unit): 1 au = $1{,}496\times 10^{11}$ m.

En 1600, Kepler devient l'assistant de l'astronome danois Tycho Brahe. Celui-ci le charge d'étudier la trajectoire de Mars et de déterminer son orbite à l'aide des observations astronomiques et des mesures qu'il a lui-même effectuées. Cette tâche, longue et délicate, conduit Kepler à envisager une trajectoire elliptique pour Mars. Il publie ses deux premières lois en 1609, puis la troisième loi en 1618.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Le référentiel d'étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen: son origine est au centre du Soleil et ses axes pointent vers des étoiles lointaines.

Les périodes de révolution $T$ (en année) et les demi-grands axes $a$ (en unité astronomique) des trajectoires des planètes du système solaire (à l'exception de Mars) sont saisies dans un programme écrit en langage Python, afin de vérifier la troisième loi de Kepler. Un extrait de ce programme est donné sur la figure 2.

En 1611, Johannes Kepler propose dans son ouvrage Dioptricae une nouvelle combinaison optique pour la lunette astronomique utilisée par Galilée en remplaçant la lentille divergente par une lentille convergente.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Fondées sur ce modèle, les lunettes astronomiques actuelles sont formées de deux lentilles minces convergentes. On représente ci-dessous le schéma optique d'une lunette astronomique afocale (figure A1), avec un objet à l'infini A∞B∞.

Données

Distance minimale Mars-Terre

62,07 millions de km

Angle sous lequel est vue la Lune à l'œil nu

$9{,}0\times 10^{-3}$ rad

Diamètre de Mars

6 794 km

Approximation des petits angles

$\tan\theta = \theta$ ($\theta$ en radian)

Angle $\theta$ sous lequel un observateur voit un objet AB de hauteur $h$ à une distance $d$.

Q6. Sur la figure ci-dessous, on note L 1 et L 2 les deux lentilles minces convergentes. Préciser la lentille correspondant à l'objectif et celle correspondant à l'oculaire.

On considère un objet situé à l'infini, noté A∞B∞. On observe cet objet avec la lunette.

Q7. Tracer sur la figure la marche des rayons lumineux provenant de B∞ à travers la lentille L 1 et la lentille L 2 en faisant apparaître l'image intermédiaire, notée A 1 B 1, de l'objet A∞B∞ à travers la lentille L 1.

La plupart du temps, il est difficile d'observer Mars depuis la Terre, notamment à cause de sa petite taille. La situation la plus favorable est quand Mars est en opposition, c'est-à-dire alignée avec la Terre et le Soleil. Cette situation correspond au moment où Mars est au plus près de la Terre.

D'après https://www.observatoiredeparis.psl.eu

On observe Mars à l'aide d'une lunette astronomique dont les caractéristiques sont données dans le tableau 2.

Distance focale de l'objectif · 900 mm

Diamètre de l'objectif · 70 mm

Masse du tube optique · 1,75 kg

Distance focale des oculaires interchangeables · 10 mm; 25 mm; 40 mm

Tableau 2. Fiche technique d'une lunette astronomique 70/900 (d'après www.maison-astronomie.com)

Q8. Représenter les angles $\theta_1$ (angle sous lequel est vu Mars à l'œil nu) et $\theta_2$ (angle sous lequel est vu Mars à l'aide de la lunette) sur la figure.

Figure A1 - Modèle de la lunette astronomique, à compléter pour les questions Q6, Q7 et Q8.

Q9.

On rappelle que le grossissement $G$ de la lunette s'écrit: $G = \dfrac{\theta_2}{\theta_1}$. Établir que le grossissement s'exprime en fonction des distances focales de l'objectif et de l'oculaire notées respectivement $f'_{obj}$ et $f'_{ocu}$: $G = \dfrac{f'_{obj}}{f'_{ocu}}$.

Q10.

Dans la situation où Mars est au plus près de la Terre, déterminer parmi les oculaires fournis avec la lunette décrite au tableau 2, celui qui permet à un observateur de voir Mars au moins aussi grosse que la Lune vue à l'œil nu.

Valeur du grossissement minimal nécessaire $G$:

Oculaire à choisir:

EXERCICE 3 - IMPRIMANTE À JET D'ENCRE CONTINU (5 points)

De nombreuses applications technologiques, dans des domaines très variés, reposent sur l'utilisation d'un champ électrique.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement des imprimantes à jet d'encre continu dévié, principalement utilisées pour imprimer les dates d'expiration figurant sur les produits alimentaires.

On donne sur le schéma de la figure 1, le principe de fonctionnement de l'imprimante à jet d'encre continu dévié: le jet d'encre sort de la tête d'impression par une buse qui le décompose en très petites gouttes dont certaines sont chargées électriquement.

Celles-ci passent sous un déflecteur constitué de deux plaques $P_1$ et $P_2$ parallèles, chargées électriquement, assimilables à un condensateur plan. Ces plaques dévient les gouttes chargées de leur trajectoire initiale.

Les gouttes non chargées poursuivent quant à elles leur mouvement rectiligne vers une gouttière de recyclage et sont réintégrées dans le module d'encre afin d'être réutilisées.

Données:

les mouvements sont étudiés dans le référentiel terrestre supposé galiléen associé au repère $(O, \vec{i}, \vec{k})$ représentés sur la figure 2. Les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{k}$ sont unitaires;

on considère que la charge électrique et la masse des gouttes d'encre restent constantes entre la buse et le support d'impression;

masse d'une goutte d'encre: $m = 2\times 10^{-10}\text{ kg}$;

charge électrique d'une goutte: $q = -4\times 10^{-13}\text{ C}$;

valeur de la vitesse d'éjection des gouttes d'encre: $v_0 = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$;

longueur des plaques du déflecteur: $L = 2\text{ cm}$;

distance entre le déflecteur et le support d'impression: $D = 3\text{ cm}$;

le champ électrique est supposé uniforme dans le déflecteur, il s'écrit $\vec{E} = -E\,\vec{k}$ avec $E = 9\times 10^5\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}$;

le champ électrique est nul à l'extérieur du déflecteur;

hauteur moyenne d'un caractère imprimé: $h = 3\text{ mm}$;

intensité de la pesanteur: $g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

On étudie le mouvement d'une goutte d'encre $G$, supposée ponctuelle, de masse $m$ et de charge $q$ négative.

À la date $t_0 = 0\text{ s}$, la goutte d'encre $G$ pénètre dans la zone de champ électrique uniforme au niveau du point $O$ avec une vitesse initiale notée $\vec{v}_0 = v_0\,\vec{i}$.

On suppose que l'action mécanique de l'air est négligeable devant les autres actions.

Q1.

Indiquer les signes des charges portées par les plaques $P_1$ et $P_2$ sachant que la goutte chargée négativement est déviée vers le haut (sens des $z$ croissants) puis justifier que le vecteur champ électrique $\vec{E}$ est orienté de $P_1$ vers $P_2$.

On suppose que la valeur du poids de la goutte d'encre $G$ est négligeable par rapport à celle de la force électrique subie dans le déflecteur.

Q2.

Établir l'expression du vecteur accélération $\vec{a}_G$ de la goutte d'encre en fonction de la masse $m$, de la charge $q$ et du vecteur champ électrique $\vec{E}$ entre les plaques du déflecteur.

Q3.

Montrer que les équations horaires $x_G(t)$ et $z_G(t)$ du mouvement de la position de la goutte d'encre $G$ dans le déflecteur sont données par les relations:

$$\begin{cases} x_G(t) = v_0 \times t \\[6pt] z_G(t) = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{q \times E}{m} \times t^2 \end{cases}$$

Q4.

Exprimer la date $t_S$ à laquelle la goutte d'encre $G$ sort du déflecteur puis montrer que la valeur de la déviation $HS$ est d'environ $0,9\text{ mm}$.

Q5.

Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}_S$ de la goutte d'encre $G$ à la date $t_S$.

Q6.

Montrer que la valeur de l'angle $\alpha$ entre l'axe $(Ox)$ et le vecteur vitesse $\vec{v}_S$ est donnée par la relation:

$$\tan\alpha = -\dfrac{q \times E \times L}{m \times v_0^2}$$

On suppose que le mouvement de la goutte entre le point $S$ et le support d'impression est rectiligne uniforme.

Q7.

En déduire la valeur de la hauteur $H'I$ du point d'impact $I$ de la goutte sur le support d'impression. Commenter.

Q8.

Proposer, en justifiant, plusieurs moyens permettant d'augmenter la taille du caractère imprimé sur le support d'impression.