Exercice 1 - Mouvement de Titan · Bac Physique-Chimie Métropole 2023 (sujet 1)

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

3. Découverte de Titan par Huygens

Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne, un point brillant qu'il soupçonne être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelée Titan.

« Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j'ai dessiné une circonférence de cercle représentant l'orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l'ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j'ai fait circuler le satellite suivant l'ordre naturel des chiffres. [...]

Cherchant ensuite sur cette circonférence l'endroit où le satellite s'était trouvé dans notre première observation et corrigeant plusieurs fois cet endroit, [...] il m'a semblé enfin que tout le mouvement peut être représenté le plus commodément, si dans le cas de la première observation, celle du 25 mars 1655, le satellite est placé auprès du nombre 12. Par suite le satellite de Saturne était le 26 mars auprès du nombre 13, le 27 mars auprès du nombre 14, le 3 avril auprès du nombre 5 et ainsi de suite aux endroits de l'orbite qui correspondent assez bien avec les situations observées la première année. »

Q11.

Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties.

Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l'origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(T, \vec{u}_t, \vec{u}_n)$.

Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution $T_{\text{Huy}}$ de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».

Q12.

Donner l'expression vectorielle de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de $G$, $M_S$, $M_T$, $R$ et de l'un des vecteurs unitaires.

Q13.

Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu'il est uniforme puis que l'expression de la vitesse du satellite s'écrit sous la forme: $$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{R}}$$

Q14.

En déduire l'expression de la période de révolution notée $T_{\text{Kep}}$ de Titan. Calculer sa valeur. Commenter.