Exercice 1 - Diffraction · Bac Physique-Chimie Métropole 2023 (sujet 1)

EXERCICE 1 - À LA DÉCOUVERTE DE SATURNE (11 points)

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).

Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens:

· Distance focale $f_1'$ de l'objectif · Distance focale $f_2'$ de l'oculaire · Diamètre $a$ de l'objectif · Grossissement

Lunette de Galilée utilisée en 1610 · · · 29,0 mm · $G_{Gal} = 14$

Lunette de Huygens utilisée en 1655 · 329 cm · 7,0 cm · 51,0 mm

un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à $3{,}0\times 10^{-4}$ rad;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\tan(\theta) = \theta$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$;

masse de Saturne: $M_S = 5{,}68\times 10^{26}$ kg;

masse de Titan: $M_T = 1{,}34\times 10^{23}$ kg;

distance moyenne entre la Terre et Saturne: $D_{T-S} = 1{,}42\times 10^{9}$ km;

rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne: $R = 1{,}22\times 10^{6}$ km.

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

L'observation des détails d'un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l'image donnée par l'objectif d'une source ponctuelle « à l'infini » n'est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée tache d'Airy, représentée en figure 6.

Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l'angle caractéristique de diffraction vérifie la relation:

$$\theta_{\text{diff}} = 1{,}22 \times \frac{\lambda}{a}$$

avec $\lambda$ la longueur d'onde du faisceau incident et $a$ le diamètre de l'objectif.

Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l'écart angulaire $\theta$ entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l'angle caractéristique de diffraction, c'est-à-dire si la condition $\theta \ge \theta_{\text{diff}}$ est vérifiée. Si ce n'est pas le cas, les taches d'Airy associées aux deux points se superposent et les deux points ne peuvent être séparés visuellement.

Q10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d'observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer. Une approche quantitative est attendue.

On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l'époque est égale à $D_{\text{A-B}} = 3{,}17 \times 10^4\text{ km}$ et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d'onde $\lambda = 550\text{ nm}$, pour laquelle l'œil humain est le plus sensible.