Exercice 1 - Équations différentielles · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2025

Partie B

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en $\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0\;\ 6]$ par:

$$f(t) = (t + 1)\mathrm{e}^{-0{,}4t}$$

Exercice 1

Partie A

On considère l'équation différentielle $$(E): y' + 0{,}4y = \mathrm{e}^{-0{,}4t}$$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ qui sont solutions de cette équation.

1.

Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $u(t) = t\mathrm{e}^{-0{,}4t}$.

Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.

2.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $g(t) = f(t) - u(t)$.

Soit $(H)$ l'équation différentielle $y' + 0{,}4y = 0$.

a.

Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

On admettra que la réciproque est vraie.

b.

Résoudre l'équation différentielle $(H)$.

c.

En déduire les solutions de $(E)$.

d.

Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.