Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 2)

Exercice 3 (5 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$, on considère:

le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z + 2 = 0$,

le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1; 1; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vec{n_2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. a.

Donner les coordonnées d'un vecteur $\vec{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.

1. b.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.

2. a.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.

2. b.

On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est:

$$\begin{cases} x = 0 \\ y = -2 + t \\ z = t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}.$$

Montrer que la droite $\Delta$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

On considère le point $A(1; 1; 1)$ et on admet que le point $A$ n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.

On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

3. On rappelle que, d'après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0; -2 + t; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.

3. a.

Montrer que, pour tout réel $t$, $AM_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.

3. b.

En déduire que $AH = \sqrt{3}$.

4. On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.

4. a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.

4. b.

En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{5}{3}\right)$.

5.

Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.

On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right)$ et que $H$ a pour coordonnées $(0; 0; 2)$.

Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A, H_1, H_2, H$.

Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.