Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 1)

1. Coordonnées de E

Réponse : (0 ; 0 ; 1)

1. Coordonnées de C

Réponse : (1 ; 1 ; 0)

1. Coordonnées de G

Réponse : (1 ; 1 ; 1)

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

Réponse : $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

Réponse : $\vec{GB}\cdot\vec{EC} = 0$ et $\vec{GD}\cdot\vec{EC} = 0$

4. a. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est : x + y - z - 1 = 0.

Réponse : $x + y - z - 1 = 0$

4. b. Montrer que le point I a pour coordonnées (2/3 ; 2/3 ; 1/3).

Réponse : $I\left(\frac{2}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\right)$

4. c. En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à 2√3/3.

Réponse : $d(E ; (GBD)) = EI = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

5. a. Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.

Réponse : $BD = DG = GB = \sqrt{2}$

5. b. Calculer l'aire du triangle BDG. On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].

Réponse : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à 1/3.

Réponse : $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h = \frac{1}{3}$