Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2023

Exercice 2 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(1; 0; -1)$, $B(3; -1; 2)$, $C(2; -2; -1)$ et $D(4; -1; -2)$.

On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = -1 + t \end{cases}, \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

1. a.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.

1. b.

Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

1. c.

Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2x + y - z - 3 = 0$.

2. a.

Calculer la distance $CD$.

2. b.

Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD = \sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.

3. a.

Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.

3. b.

Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.

3. c.

En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.