Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2022

Exercice 4 (7 points) — Thème: géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère:

la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $A(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;

la droite $\mathcal{D}'$ dont une représentation paramétrique est: $\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 + t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.

1. a.

Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}'$ de la droite $\mathcal{D}'$.

1. b.

Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.

1. c.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. On appellera $M$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$, et $M'$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.

On se propose de déterminer la distance $MM'$ appelée « distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ».

2.

Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.

On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, c'est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

3. a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

3. b.

En déduire qu'une équation du plan $\mathcal{P}$ est: $2x - y - 5z = 0$.

3. c.

On rappelle que $M'$ est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}'$. Justifier que $M'$ est également le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$. En déduire que les coordonnées du point $M'$ sont $(3; 1; 1)$.

4. a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

4. b.

Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.

4. c.

Calculer la distance $MM'$.

On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 5t \\ y = 2 + 5t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.

5. a.

Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

5. b.

On note $\ell$ la distance d'un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM'$ en fonction de $\ell$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

5. c.

Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM'$ et $AN_2MM'$ ont le même volume.