Exercice A · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Principaux domaines abordés:

Géométrie de l'espace rapporté à un repère orthonormé; orthogonalité dans l'espace.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère:

le point A de coordonnées $(1\,;\,3\,;\,2)$,

le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,

la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

1.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

2.

Soit $t$ un nombre réel quelconque, et M un point de la droite $d$, le point M ayant pour coordonnées $(t\,;\,t\,;\,0)$.

a.

On note AM la distance entre les points A et M. Démontrer que: $$AM^2 = 2t^2 - 8t + 14$$

b.

Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2\,;\,2\,;\,0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance AM est minimale. On admettra que la distance AM est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.

3.

Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.

4.

On appelle A' le projeté orthogonal du point A sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point A' admet donc pour coordonnées $(1\,;\,3\,;\,0)$.

Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère.

5.

Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.