Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Métropole France 1 (2022)

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O;\vec i,\vec j,\vec k), on considère:

• le point AA de coordonnées (−1;1;3)(-1;1;3),

• la droite D\mathcal{D} dont une représentation paramétrique est: {x=1+2ty=2−tz=2+2t,t∈R\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

On admet que le point AA n'appartient pas à la droite D\mathcal{D}.

1.a

1.b

1.c

On note P\mathcal{P} le plan passant par le point AA et orthogonal à la droite D\mathcal{D}, et on appelle HH le point d'intersection du plan P\mathcal{P} et de la droite D\mathcal{D}. Ainsi, HH est le projeté orthogonal de AA sur la droite D\mathcal{D}.

2.a

2.b

2.c

Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point AA sur la droite D\mathcal{D}, par une autre méthode. On rappelle que le point B(−1;3;0)B(-1;3;0) appartient à la droite D\mathcal{D} et que le vecteur u⃗\vec u est un vecteur directeur de la droite D\mathcal{D}.

3.a

3.b

3.c

4

On considère un point CC appartenant au plan P\mathcal{P} tel que le volume du tétraèdre ABCHABCH soit égal à 89\dfrac{8}{9}. Calculer l'aire du triangle ACHACH. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: V=13×B×hV=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h où B\mathcal{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur relative à cette base.

Énoncé: Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1.a Donner les coordonnées d'un vecteur directeur u de la droite D.

Réponse : u⃗(2;−1;2)\vec u(2;-1;2)

1.b Montrer que le point B(-1;3;0) appartient à la droite D.

Réponse : On pose M(1;2;2)∈DM(1;2;2)\in\mathcal{D}. On calcule MB→(−21−2)\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix} et on remarque que MB→=−u⃗\overrightarrow{MB}=-\vec u, les deux vecteurs sont colinéaires, donc B appartient à D.

1.c Calculer le produit scalaire AB.u.

Réponse : AB→(02−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix} donc AB→⋅u⃗=0×2+2×(−1)+(−3)×2=−8\overrightarrow{AB}\cdot\vec u = 0\times2+2\times(-1)+(-3)\times2=-8

2.a Montrer que le plan P admet pour équation cartésienne 2x-y+2z-3=0.

Réponse : Le plan P admet une équation de la forme 2x−y+2z+c=02x-y+2z+c=0 (car u⃗\vec u est normal à P). Avec A(−1;1;3)∈PA(-1;1;3)\in\mathcal{P} : 2(−1)−1+2(3)+c=0⇒−2−1+6+c=0⇒c=−32(-1)-1+2(3)+c=0 \Rightarrow -2-1+6+c=0 \Rightarrow c=-3.

2.b En déduire que le point H a pour coordonnées (7/9;19/9;16/9).

Réponse : H(79;199;169)H\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)

2.c Calculer la longueur AH (valeur exacte).

Réponse : AH=533AH=\dfrac{\sqrt{53}}{3}

3.a Justifier qu'il existe un nombre réel k tel que HB=k*u.

Réponse : B et H appartiennent tous deux à la droite D de vecteur directeur u, donc il existe k réel tel que HB→=ku⃗\overrightarrow{HB}=k\vec u.

3.b Montrer que k = AB.u / ||u||^2.

Réponse : En partant de HB→=ku⃗\overrightarrow{HB}=k\vec u, on applique Chasles : HA→+AB→=ku⃗\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}=k\vec u. En multipliant scalairement par u⃗\vec u des deux côtés : HA→⋅u⃗+AB→⋅u⃗=k∥u⃗∥2\overrightarrow{HA}\cdot\vec u+\overrightarrow{AB}\cdot\vec u=k\|\vec u\|^2. Or H est le projeté orthogonal de A sur D donc HA→⋅u⃗=0\overrightarrow{HA}\cdot\vec u=0, d'où k=AB→⋅u⃗∥u⃗∥2k=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}.

3.c Calculer la valeur de k et retrouver les coordonnées du point H.

Réponse : k=−89k=-\dfrac{8}{9}, donc HB→=−89u⃗=(−16/98/9−16/9)\overrightarrow{HB}=-\dfrac89\vec u=\begin{pmatrix}-16/9\\8/9\\-16/9\end{pmatrix}, ce qui donne H(79;199;169)H\left(\dfrac79;\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right), le même résultat que par l'autre méthode.

4 Calculer l'aire du triangle ACH sachant que le volume du tétraèdre ABCH est égal à 8/9.

Réponse : S=1S=1 unité d'aire

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