Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Exercice 4 (7 points) — Thème: géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1;-1;3)$, $B(1;1;2)$, $C(1;-1;7)$.

On considère également la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1;6;8)$ et $E(11;-9;2)$.

1.a.

Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique:

$$\begin{cases} x = -1 + 4t \\ y = 6 - 5t \\ z = 8 - 2t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

1.b.

Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta'$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine $O$ du repère.

1.c.

Le point $F(1,36; -1,7; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ?

2.a.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

2.b.

Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

2.c.

Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $4x - 5y - 2z + 5 = 0$.

3.a.

Montrer que le point $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.

3.b.

Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.

3.c.

En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.

4.a.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

4.b.

Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.