Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 2)

Exercice 3, commun à tous les candidats (4 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$, on considère les points:

$A$ de coordonnées $(2; 0; 0)$, $B$ de coordonnées $(0; 3; 0)$ et $C$ de coordonnées $(0; 0; 1)$.

L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle $ABC$.

1. a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.

1. b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.

2.

On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ (en fonction du paramètre réel $t$):

$x(t) =$

$y(t) =$

$z(t) =$

b. Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\frac{18}{49}; \frac{12}{49}; \frac{36}{49}\right)$.

c. Calculer la distance $OH$.

3.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l'aire du triangle $ABC$.