Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2022)

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) d'unité 1 cm1\text{ cm}, on considère les points suivants:

J(2,0,1)J(2, 0, 1), K(1,2,1)K(1, 2, 1) et L(−2,−2,−2)L(-2, -2, -2).

1. a.

Montrer que le triangle JKLJKL est rectangle en JJ.

1. b.

Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKLJKL en cm2\text{cm}^2.

cm2\text{cm}^2

1. c.

Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique JKL^\widehat{JKL}.

°

2. a.

Démontrer que le vecteur n⃗(63−10)\vec{n}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (JKL)(JKL).

2. b.

En déduire une équation cartésienne du plan (JKL)(JKL).

Dans la suite, TT désigne le point de coordonnées (10,9,−6)(10, 9, -6).

3. a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta orthogonale au plan (JKL)(JKL) et passant par TT.

3. b.

Déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point TT sur le plan (JKL)(JKL).

3. c.

On rappelle que le volume VV d'un tétraèdre est donné par la formule:

V=13B×hV = \frac{1}{3} B \times h où BB désigne l'aire d'une base et hh la hauteur correspondante.

Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLTJKLT en cm3\text{cm}^3.

cm3\text{cm}^3

Énoncé: Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

Réponse : JK⃗(−1,2,0)\vec{JK}(-1, 2, 0) et JL⃗(−4,−2,−3)\vec{JL}(-4, -2, -3) ; JK⃗⋅JL⃗=0\vec{JK} \cdot \vec{JL} = 0, donc le triangle JKLJKL est rectangle en JJ.

1. b. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL en cm².

Réponse : 1452\frac{\sqrt{145}}{2}

1. c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique JKL.

Réponse : 67,467{,}4°

2. a. Démontrer que le vecteur n de coordonnées (6, 3, -10) est un vecteur normal au plan (JKL).

Réponse : n⃗⋅JK⃗=0\vec{n} \cdot \vec{JK} = 0 et n⃗⋅JL⃗=0\vec{n} \cdot \vec{JL} = 0, donc n⃗\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (JKL)(JKL).

2. b. En déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Réponse : 6x+3y−10z−2=06x + 3y - 10z - 2 = 0

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

Réponse : {x=10+6ty=9+3tz=−6−10t,t∈R\begin{cases} x = 10 + 6t \\ y = 9 + 3t \\ z = -6 - 10t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

3. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL).

Réponse : (4,6,4)(4, 6, 4)

3. c. Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm³.

Réponse : 1456\frac{145}{6}

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