Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

EXERCICE 3 (5 points)

Dans cet exercice l'unité est le cm.

On considère une pyramide à base carrée $SABCD$ comme dans la figure ci-dessous.

Dans cette figure:

• $AB = BC = CD = DA = OS = 2\text{ cm}$

• $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$.

L'espace est muni du repère orthonormé $(O; \vec{OI}, \vec{OJ}, \vec{OK})$.

On admet que $B(-1; 1; 0)$, $C(1; 1; 0)$, et $S(0; 0; 2)$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1.

Donner les coordonnées des points $A$ et $D$.

$A$:

$D$:

2.

Calculer le produit scalaire $\vec{SC} \cdot \vec{SB}$.

$\vec{SC} \cdot \vec{SB} =$

3.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$ arrondie au dixième de degré près.

$\widehat{BSC} \approx$

°

Partie B

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(SBC)$.

1.

Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a.

Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $2y + z - 2 = 0$.

2.

On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(SBC)$.

a.

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est:

$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

b.

Calculer les coordonnées du point $H$.

$H$:

c.

En déduire que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\text{ cm}$.

Partie C

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

1.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.$$

a.

Calculer le volume de la pyramide $SABCD$.

$V_{SABCD} =$

$\text{cm}^3$

b.

En déduire que le volume de la pyramide $OCBS$ est égal à $\dfrac{2}{3}\text{ cm}^3$.

2.

Déterminer l'aire du triangle $SBC$.

$\mathcal{A}_{SBC} =$

$\text{cm}^2$

3.

Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\text{ cm}$.