Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 2)

1. Vérifier que la droite Δ passe par le point C(1 ; 1 ; 1) mais pas par le point A.

Réponse : Pour $t = 0$, on obtient $(1; 1; 1)$ donc $C \in \Delta$. Pour $A(4; 2; 2)$, $1 + 2t = 4 \iff t = 3/2$, mais alors $1 + t = 5/2 \neq 2$, donc $A \notin \Delta$.

2. a. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan P est 2x + y + 2z - 14 = 0.

Réponse : $2x + y + 2z - 14 = 0$

2. b. Vérifier que le plan P passe par le point B mais pas par le point C.

Réponse : $2(5) + (-2) + 2(3) - 14 = 0$, donc $B \in \mathcal{P}$. $2(1) + 1 + 2(1) - 14 = -9 \neq 0$, donc $C \notin \mathcal{P}$.

3. a. Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan P.

Réponse : $D(3; 2; 3) \in \mathcal{P}$ car $2(3) + 2 + 2(3) - 14 = 0$, et $\vec{CD} = (2; 1; 2)$ est colinéaire au vecteur normal de $\mathcal{P}$.

3. b. Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Réponse : $A, B, D$ appartiennent à $\mathcal{P}$ et ne sont pas alignés, définissant le plan $\mathcal{P}$. Comme $C \notin \mathcal{P}$, les quatre points ne sont pas coplanaires.

3. c. Calculer le produit scalaire AB . AD.

Réponse : $0$

3. d. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Réponse : $3$

4. a. Vérifier que les coordonnées du point H sont (73/29 ; -4/29 ; 51/29).

Réponse : $H \in (BC)$ car $\vec{BH} = \frac{18}{29}\vec{BC}$, et $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$, donc $(AH) \perp (BC)$.

4. b. Démontrer que l'aire du triangle ABC est 3√22 / 2.

Réponse : $\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times \sqrt{29} \times \frac{3\sqrt{22}}{\sqrt{29}} = \frac{3\sqrt{22}}{2}$

4. c. En déduire la distance du point D au plan (ABC).

Réponse : $\frac{3\sqrt{22}}{11}$ / $\frac{6}{\sqrt{22}}$