Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 2)

Exercice 3 (7 points) — Thème: géométrie dans l'espace

Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m. Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où $\mathrm{OB} = 6\text{ m}$, $\mathrm{OD} = 8\text{ m}$ et $\mathrm{OE} = 4\text{ m}$.

On utilise le repère orthonormé $(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ tel que $\vec{i} = \frac{1}{6}\vec{\mathrm{OB}}$, $\vec{j} = \frac{1}{8}\vec{\mathrm{OD}}$ et $\vec{k} = \frac{1}{4}\vec{\mathrm{OE}}$.

Dans ce repère, on a, en particulier: $\mathrm{C}(6, 8, 0)$, $\mathrm{F}(6, 0, 4)$ et $\mathrm{G}(6, 8, 4)$.

Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $\mathrm{ART}$ qui a pour sommets $\mathrm{A}(6, 0, 2)$, $\mathrm{R}(6, 3, 4)$ et $\mathrm{T}(3, 0, 4)$. Enfin, $\mathrm{S}$ est le point de coordonnées $\left(3, \frac{5}{2}, 0\right)$.

1. a.

Vérifier que le triangle $\mathrm{ART}$ est isocèle en $\mathrm{A}$.

1. b.

Calculer le produit scalaire $\vec{\mathrm{AR}} \cdot \vec{\mathrm{AT}}$.

1. c.

En déduire une valeur approchée à 0,1 degré près de l'angle $\widehat{\mathrm{RAT}}$.

°

2. a.

Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ART})$.

2. b.

En déduire une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ART})$.

3. Un rayon laser dirigé vers le triangle $\mathrm{ART}$ est émis du plancher à partir du point $\mathrm{S}$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(\mathrm{ART})$.

3. a.

Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(\mathrm{ART})$ et passant par le point $\mathrm{S}$. Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$:

$$\begin{cases} x = 3 + 2k \\ y = \frac{5}{2} - 2k \quad \text{avec } k \in \mathbb{R} \\ z = 3k \end{cases}$$

3. b.

Soit $\mathrm{L}$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(\mathrm{ART})$. Démontrer que $\mathrm{L}$ a pour coordonnées $\left(5, \frac{1}{2}, 3\right)$.

4. L'artiste installe un rail représenté par le segment $[\mathrm{DK}]$ où $\mathrm{K}$ est le milieu du segment $[\mathrm{EH}]$. Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $\mathrm{N}$ du segment $[\mathrm{DK}]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $\mathrm{S}$.

4. a.

Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0; 1]$, le point $\mathrm{N}$ de coordonnées $(0, 8 - 4t, 4t)$ est un point du segment $[\mathrm{DK}]$.

4. b.

Calculer les coordonnées exactes du point $\mathrm{N}$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[\mathrm{SL}]$ et $[\mathrm{SN}]$ soient perpendiculaires.