Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Affirmation 1 : La droite (d) et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 1

Réponse : Les vecteurs directeurs $(-2, 0, -6)$ et $(0, 1, 0)$ ne sont pas colinéaires. Le système $3 - 2t = 0$ et $2 - 6t = 0$ donne $t = 3/2$ et $t = 1/3$, sans solution commune, donc les droites ne sont ni parallèles ni sécantes.

Affirmation 2 : Le plan passant par A et orthogonal à la droite (d) a pour équation cartésienne : x + 3z + 3 = 0

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 2

Réponse : Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de (d), soit $(-2, 0, -6)$ ou $(1, 0, 3)$. L'équation est de la forme $x + 3z + d = 0$. En remplaçant par les coordonnées de $A(3; -3; -2)$ : $3 + 3(-2) + d = 0 \Rightarrow d = 3$, d'où $x + 3z + 3 = 0$.

Affirmation 3 : Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique BAC est π/6.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Pour $x_C = 2$, $t = 0{,}5$ donc $C(2; -1; -1)$. On a $\vec{AB}(2; -1; 1)$, $\vec{AC}(-1; 2; 1)$, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3$ et $AB = AC = \sqrt{6}$. D'où $\cos(\widehat{BAC}) = -3/6 = -1/2$, donc $\widehat{BAC} = 2\pi/3 \neq \pi/6$.

Affirmation 4 : La distance BH est égale à √10 / 2.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 4

Réponse : Comme $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $\mathcal{P}$, la distance $BH$ est la distance du point $B$ au plan $\mathcal{P}$ : $BH = \dfrac{|5 + 3(-1) - 7|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2}} = \dfrac{|-5|}{\sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.