Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 2)

1. a) Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{EF}$.

Réponse : $(-4\,;\,4\,;\,2)$

1. a) Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{FG}$.

Réponse : $(4\,;\,0\,;\,-4)$

1. b) Justifier que les points E, F et G ne sont pas alignés.

Réponse : Les coordonnées des vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{FG}$ ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).

Réponse : $\begin{cases} x = 4t - 1 \\ y = 2 \\ z = 1 - 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

2. b) Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).

Réponse : $H \in (FG)$ pour $t = 0{,}75$ et $\vec{HE} \cdot \vec{FG} = 0$, donc $H$ est bien le projeté orthogonal de $E$ sur $(FG)$.

2. c) Montrer que l'aire du triangle EFG est égale à 12 cm².

Réponse : $\mathcal{A}_{EFG} = \frac{HE \times FG}{2} = \frac{3\sqrt{2} \times 4\sqrt{2}}{2} = 12\text{ cm}^2$

3. a) Démontrer que le vecteur n(2; 1; 2) est un vecteur normal au plan (EFG).

Réponse : $\vec{n} \cdot \vec{FG} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{EF} = 0$, donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan $(EFG)$, donc $\vec{n}$ est normal au plan.

3. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG).

Réponse : $2x + y + 2z - 2 = 0$

3. c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG).

Réponse : $\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 5 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

3. d) Calculer les coordonnées du point K.

Réponse : $K\left(-\frac{1}{3}\,;\,-\frac{2}{3}\,;\,\frac{5}{3}\right)$

4. a) Vérifier que la distance DK est égale à 5 cm.

Réponse : $DK = \|\vec{DK}\| = \sqrt{\left(-\frac{10}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{10}{3}\right)^2} = \frac{15}{3} = 5\text{ cm}$

4. b) En déduire le volume du tétraèdre DEFG.

Réponse : $20\text{ cm}^3$