Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2021)

Énoncé

Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points)

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

1.

Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;AB⃗,AD⃗,AE⃗)(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}).

2. a.

Donner les coordonnées des points I et J.

2. b.

Montrer que les vecteurs IJ⃗\vec{IJ}, AE⃗\vec{AE} et AC⃗\vec{AC} sont coplanaires.

On considère le plan P d'équation x+3y−2z+2=0x + 3y - 2z + 2 = 0 ainsi que les droites d1d_1 et d2d_2 définies par les représentations paramétriques ci-dessous:d1:{x=3+ty=8−2t,t∈Rz=−2+3tetd2:{x=4+ty=1+t,t∈Rz=8+2td_1: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 8 - 2t, & t \in \mathbb{R} \\ z = -2 + 3t \end{cases} \quad \text{et} \quad d_2: \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 1 + t, & t \in \mathbb{R} \\ z = 8 + 2t \end{cases}

3.

Les droites d1d_1 et d2d_2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

4.

Montrer que la droite d2d_2 est parallèle au plan P.

5.

Montrer que le point L(4, 0, 3) est le projeté orthogonal du point M(5, 3, 1) sur le plan P.

Énoncé: Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. (Réponse)

Réponse : Non

1. Justification

Réponse : AI⃗(1/2;0;1)\vec{AI}(1/2;0;1) et KH⃗(0;1;1/2)\vec{KH}(0;1;1/2) ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

2. a. Coordonnées de I

Réponse : (1/2;0;1)(1/2; 0; 1)

2. a. Coordonnées de J

Réponse : (1;1/2;0)(1; 1/2; 0)

2. b. Montrer que les vecteurs IJ⃗\vec{IJ}, AE⃗\vec{AE} et AC⃗\vec{AC} sont coplanaires.

Réponse : IJ⃗=12AC⃗−AE⃗\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AE}

3. Les droites d1d_1 et d2d_2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. (Réponse)

Réponse : Non

3. Justification

Réponse : Les vecteurs directeurs u⃗1(1;−2;3)\vec{u}_1(1;-2;3) et u⃗2(1;1;2)\vec{u}_2(1;1;2) ne sont pas colinéaires.

4. Montrer que la droite d2d_2 est parallèle au plan P.

Réponse : n⃗⋅u⃗2=0\vec{n} \cdot \vec{u}_2 = 0

5. Montrer que le point L(4, 0, 3) est le projeté orthogonal du point M(5, 3, 1) sur le plan P.

Réponse : L appartient à P et LM⃗=n⃗\vec{LM} = \vec{n}

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