Aufgabe 3 - Teilaufgabe 4: Quantenphysikalische B… · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2023

Thema: Quantenobjekte · Aus der Prüfung LK · Nachtermin (2023)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Kernfusionsreaktoren

Wenn Fusionsreaktoren und ihre Technik weiter erforscht und optimiert werden, könnten sie künftig eine Alternative zu den bisher üblichen Energieträgern darstellen. Der ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) in Südfrankreich, der in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt ist, ist ein Beispiel für einen solchen Reaktor. Um zu verstehen, wie Fusionsreaktoren funktionieren, spielen elektrische und magnetische Felder eine zentrale Rolle.

Teilaufgabe 4: Quantenphysikalische Betrachtung der Kernfusion

Dass eine Fusion letztendlich stattfinden kann, lässt sich nur mithilfe der Quantenphysik erklären.

Die potentielle Energie von zwei Teilchen der Ladung qq und QQ lässt sich mittels Epot=qQ4πε0⋅1aKE_{\text{pot}} = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{a_{\text{K}}} in Abhängigkeit vom Abstand aKa_{\text{K}} berechnen (siehe Abbildung 6), wobei ε0\varepsilon_0 wieder die elektrische Feldkonstante ist.

Damit es zur Fusion kommt, müssen die Kerne bis auf einen Abstand von aK=3,8⋅10−15 ma_{\text{K}} = 3{,}8 \cdot 10^{-15}\text{ m} aneinander herankommen.

a)

• Beschreiben Sie anhand von Abbildung 6 den Verlauf der potentiellen Energie EpotE_{\text{pot}} eines Tritium- und eines Deuteriumkerns in Abhängigkeit vom Abstand aKa_{\text{K}}.

• Berechnen Sie in eV den Maximalwert der potentiellen Energie Epot,maxE_{\text{pot,max}} zwischen einem Tritium- und einem Deuteriumkern.

b)

Einige wenige Teilchen können deutlich höhere kinetische Energien als Ekin=13 keVE_{\text{kin}} = 13\text{ keV} erreichen, welche immer noch unterhalb des Maximums der potentiellen Energie liegen. Dies ist in Abbildung 6 durch die gestrichelte Linie mit der Bezeichnung Ekin*E_{\text{kin*}} beispielhaft dargestellt. Man kann den Aufenthaltsort von Teilchen in der Quantenphysik mittels des Betragsquadrats der Wellenfunktion, wie in Abbildung 7 und 8 dargestellt, bestimmen.

Im Bereich zwischen den gestrichelten Linien liegt die kinetische Energie der Teilchen unter ihrer gegenseitigen potentiellen Energie.

• Erklären Sie allgemein, was das Betragsquadrat ∣ψ∣2|\psi|^2 der Wellenfunktion für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts bedeutet.

• Erklären Sie anhand von Abbildung 7, weshalb bei einer kinetischen Energie von Ekin=13 keVE_{\text{kin}} = 13\text{ keV} keine Kernfusion möglich ist.

• Erläutern Sie unter Bezugnahme auf Abbildung 8, dass bei ausreichend großer kinetischer Energie Ekin*E_{\text{kin*}} eine Kernfusion erfolgen kann.

Aufgabenstellung: Aufgabe 3 - Teilaufgabe 4: Quantenphysikalische B… · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) • Beschreiben Sie anhand von Abbildung 6 den Verlauf der potentiellen Energie EpotE_{\text{pot}} eines Tritium- und eines Deuteriumkerns in Abhängigkeit vom Abstand aKa_{\text{K}}.

Lösung: Die potentielle Energie EpotE_{\text{pot}} ist für einen Abstand kleiner als aK=3,8⋅10−15 ma_{\text{K}} = 3{,}8 \cdot 10^{-15}\text{ m} konstant und nimmt einen negativen Wert an. Sie wächst für den Abstand aK=3,8⋅10−15 ma_{\text{K}} = 3{,}8 \cdot 10^{-15}\text{ m} sprunghaft auf den positiven maximalen Wert Epot,maxE_{\text{pot,max}} an. Sie ist ab dem Abstand aK=3,8⋅10−15 ma_{\text{K}} = 3{,}8 \cdot 10^{-15}\text{ m} fallend und nähert sich für wachsende Abstände aKa_{\text{K}} asymptotisch der Energie Epot=0E_{\text{pot}} = 0 an.

a) • Berechnen Sie in eV den Maximalwert der potentiellen Energie Epot,maxE_{\text{pot,max}} zwischen einem Tritium- und einem Deuteriumkern.

Lösung: 3,8⋅105 eV3{,}8 \cdot 10^5\text{ eV} / 380 keV380\text{ keV}

b) • Erklären Sie allgemein, was das Betragsquadrat ∣ψ∣2|\psi|^2 der Wellenfunktion für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts bedeutet.

Lösung: Das Betragsquadrat ∣ψ∣2|\psi|^2 der Wellenfunktion gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (in Abhängigkeit vom Ort) an. Das Integral darüber für einen bestimmten Raumbereich liefert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

b) • Erklären Sie anhand von Abbildung 7, weshalb bei einer kinetischen Energie von Ekin=13 keVE_{\text{kin}} = 13\text{ keV} keine Kernfusion möglich ist.

Lösung: Das Betragsquadrat der Wellenfunktion zeigt von außen bis zu dem Punkt ein oszillierendes Verhalten, an dem die kinetische Energie gleich der potentiellen Energie ist. In dem Bereich, in dem die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist, nimmt das Betragsquadrat der Wellenfunktion von außen nach innen hin ab. Da dieser Bereich für die kinetische Energie von 13 keV13\text{ keV} sehr groß ist, nimmt das Betragsquadrat der Wellenfunktion so weit ab, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Annäherung der beiden Kerne auf einen Abstand kleiner als aKa_{\text{K}} gleich Null ist. Eine Kernfusion kann folglich nicht stattfinden.

b) • Erläutern Sie unter Bezugnahme auf Abbildung 8, dass bei ausreichend großer kinetischer Energie Ekin*E_{\text{kin*}} eine Kernfusion erfolgen kann.

Lösung: In Abbildung 8 kann man erkennen, dass der Bereich, für den die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist, kleiner ist. Dadurch zeigt das Betragsquadrat der Wellenfunktion auch noch für einen Abstand kleiner als aKa_{\text{K}} wieder ein oszillierendes Verhalten. Die Wahrscheinlichkeit für eine Annäherung der beiden Kerne auf einen Abstand kleiner als aKa_{\text{K}} verschwindet nicht gleich Null, wie im ersten Fall. Eine Fusion der Kerne ist möglich.

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