Aufgabe 2: Historische Experimente zu Erkenntniss… · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2023

1. a) Geben Sie ein Experiment samt zentraler Beobachtung an, das die Welleneigenschaft von Licht belegt.

Lösung: Doppelspaltexperiment: Interferenzmuster aus Maxima und Minima.

1. a) Geben Sie ein Experiment samt zentraler Beobachtung an, das die Teilcheneigenschaft von Licht belegt.

Lösung: Fotoeffekt (Lichtelektrischer Effekt): Elektronen werden erst ab einer Grenzfrequenz ausgelöst, unabhängig von der Lichtintensität.

1. b) Leiten Sie ausgehend von $E = h \cdot f$ die Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$ unter Verwendung von $E = m \cdot c^2$ her.

Lösung: $$h \cdot f = m \cdot c^2 \quad \Rightarrow \quad h = m \cdot c \cdot \frac{c}{f} = p \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad p = \frac{h}{\lambda}$$

1. c) Bestimmen Sie den Impuls $p$ des Elektrons im Teilchenbeschleuniger mithilfe der Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$.

Lösung: $5{,}62 \cdot 10^{-22}\,\text{kg·m/s}$ / $5{,}62 \cdot 10^{-22}\,\text{N·s}$

1. c) Bestimmen Sie mit einem klassischen Ansatz den Impuls $p_{\text{kl}}$ des Elektrons.

Lösung: $2{,}46 \cdot 10^{-22}\,\text{kg·m/s}$ / $2{,}46 \cdot 10^{-22}\,\text{N·s}$

1. c) Erklären Sie die Abweichung zwischen den von Ihnen berechneten Impulsen $p$ und $p_{\text{kl}}$.

Lösung: Bei $v = 0{,}9\,c$ treten relativistische Effekte auf; die relativistische Masse bzw. der relativistische Impuls ist deutlich größer als der klassische Impuls.

2. a) Erklären Sie, warum beim Detektor Maxima und Minima registriert werden können, und leiten Sie für Maxima $d \cdot \sin(\varphi) = n \cdot \lambda$ her.

Lösung: Interferenz der an den Atomen gebeugten Elektronenwellen: Konstruktive Interferenz (Maxima) bei $\Delta s = n \cdot \lambda$; destruktive Interferenz (Minima) bei $\Delta s = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt $\sin(\varphi) = \frac{\Delta s}{d}$, also $d \cdot \sin(\varphi) = n \cdot \lambda$.

2. b) Bestimmen Sie aus den gemessenen Werten die Wellenlänge $\lambda_{\text{exp}}$.

Lösung: $164{,}7\,\text{pm}$ / $1{,}647 \cdot 10^{-10}\,\text{m}$

2. b) Zeigen Sie, dass der Impuls $p$ mithilfe eines klassischen Ansatzes mit $p = \sqrt{2 \cdot e \cdot U_B \cdot m_e}$ bestimmt werden kann.

Lösung: $$e \cdot U_B = \frac{1}{2} m_e v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 e U_B}{m_e}} \quad \Rightarrow \quad p = m_e v = \sqrt{2 e U_B m_e}$$

2. b) Bestimmen Sie die relative Abweichung der Wellenlänge $\lambda_{\text{exp}}$ von der De-Broglie-Wellenlänge $\lambda_{\text{th}} = \frac{h}{p}$.

Lösung: $1{,}3$ % / $1{,}32$ %

2. c) Erläutern Sie, wie sich der Winkel $\varphi$ des Maximums 1. Ordnung ändert, falls die Beschleunigungsspannung $U_B$ vergrößert wird.

Lösung: Wird $U_B$ erhöht, steigt der Impuls $p$, die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{p}$ sinkt. Daher wird $\sin(\varphi)$ kleiner und der Winkel $\varphi$ verringert sich.

2. d) Beschreiben Sie den Aufbau der Elektronenbeugungsröhre anhand von Abbildung 6.

Lösung: Evakuierte Glasröhre mit Glühkathode zur Erzeugung freier Elektronen, Anode mit Beschleunigungsspannung $U_B$ zur Strahlformung, Graphitfolie als Beugungsobjekt und Leuchtschirm.

2. d) Beschreiben Sie ein Experiment, mit dem man zeigen kann, dass es sich um negativ geladene Teilchen handelt.

Lösung: Ablenkung des Strahls mit einem Magneten (oder elektrischen Feld) über die Lorentzkraft.

2. d) Erklären Sie anhand von Abbildung 7, warum man mit der Elektronenbeugungsröhre die Welleneigenschaft von Elektronen nachweisen kann.

Lösung: Das Auftreten kreisförmiger Interferenzringe (Maxima und Minima) lässt sich nur durch Interferenz von Wellen erklären.

2. e) Geben Sie die Bragg'sche Reflexionsbedingung und die Bedeutung der Größen an.

Lösung: $n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\alpha)$, wobei $\lambda$ die Wellenlänge, $d$ der Netzebenenabstand, $\alpha$ der Glanzwinkel und $n$ die Beugungsordnung ist.

2. e) Erläutern Sie die Bragg-Reflexion der Elektronen in der Graphitfolie.

Lösung: Graphitfolie ist polykristallin (viele Einkristalle in allen Raumrichtungen). Konstruktive Interferenz entsteht nur an parallelen Netzebenen, deren Orientierung die Bragg-Bedingung erfüllt, wodurch kreisförmige Beugungsringe entstehen.

3. a) Erläutern Sie, weshalb die Doppelspalte für Elektronen frei von Materie sein müssen.

Lösung: Elektronen würden mit der Materie wechselwirken (z. B. durch Stöße abgebremst oder unkontrolliert gestreut werden), was das Messergebnis verfälscht.

3. b) Zeigen Sie, dass das Interferenzbild beim Jönsson-Experiment vergrößert werden musste (Berechnung von $a$).

Lösung: $9{,}38\,\mu\text{m}$ / $9{,}38 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

3. b) Vergleich des Abstands $a$ mit dem menschlichen Auflösungsvermögen $a_A = 0{,}100\,\text{mm}$.

Lösung: Der Abstand $a \approx 9{,}38\,\mu\text{m}$ ist deutlich kleiner als $a_A = 0{,}100\,\text{mm} = 100\,\mu\text{m}$; das Bild ist mit bloßem Auge nicht auflösbar und musste vergrößert werden.

3. b) Beurteilen Sie, ob das Experiment mit sichtbarem Licht durchführbar ist.

Lösung: Nicht realistisch durchführbar: Der Spaltabstand $d_L = 2{,}0\,\text{cm}$ ist viel zu groß gegenüber $\lambda_L = 536\,\text{nm}$, und eine Schirmentfernung von $35\,\text{km}$ führt zu extremer Strahlaufweitung und Streuung an Luftmolekülen.

3. c) Beschreiben Sie, wie sich das Detektorbild mit zunehmender Anzahl der detektierten Elektronen verändert.

Lösung: Bei kleinen Teilchenzahlen ($n=200$) erscheinen die Einschläge scheinbar regellos/zufällig punktförmig verteilt. Mit wachsender Zahl ($n=6.000$ bis $n=140.000$) formiert sich ein klares Interferenzmuster mit Streifen (Maxima und Minima).

3. c) Erläutern Sie, warum die Bilder weder durch ein reines Teilchenmodell noch durch ein reines Wellenmodell erklärt werden können.

Lösung: Teilchenaspekt: Nachweis erfolgt als diskrete, lokalisierte Einschlagpunkte. Wellenaspekt: Die statistische räumliche Verteilung der Auftreffpunkte folgt einem Interferenzmuster, das Interferenz von Teilchenbahnen klassisch nicht erzeugen kann.

3. d) Erklären Sie den wesentlichen Unterschied der erstellten Skizze im Vergleich zu Abbildung 8 für $n = 140.000$ Detektionen mithilfe der Wellenfunktion.

Lösung: Wird der Weg gemessen (Welcher-Weg-Information), bricht die Überlagerung (Kohärenz) der Wellenfunktionen zusammen. Man erhält die Summe der Einzelspaltverteilungen ohne Interferenzminima/-maxima.

Zeichnungen und Skizzen: Teilaufgabe 2 a), Teilaufgabe 3 b) und Teilaufgabe 3 d)

Lösung: 2. a) Gangunterschied $\Delta s$: In das rechtwinklige Dreieck zwischen den beiden reflektierten Strahlen wird die Gegenkathete $\Delta s$ zum Winkel $\varphi$ rechtwinklig auf den oberen Strahl eingezeichnet. 3. b) Skizze zur Herleitung: Skizze mit Doppelspalt (Abstand $d$), Schirmabstand $e$, Gangunterschied $\Delta s = d \cdot \sin(\alpha)$ und Schirmabstand des 1. Maximums $a = e \cdot \tan(\alpha)$. 3. d) Skizze der Verteilung bei Welcher-Weg-Beobachtung: Skizze zweier breiter Einzelspaltverteilungen (gestrichelt) und deren glatter Summenkurve (durchgezogen) ohne Interferenzstreifen.