Aufgabe 1: Induktion und Wirbelströme · Abitur NRW Physik GK · Haupttermin 2021

Aufgabe: Induktion und Wirbelströme

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der elektrischen Energieversorgung

Unser ganzes Alltagsleben basiert auf der ständigen Verfügbarkeit von elektrischer Energie. In Kraftwerken werden verschiedene Formen der Primärenergie zunächst in Bewegungsenergie und diese schließlich in elektrische Energie umgesetzt. Dabei kommt bei der Umsetzung von Bewegungsenergie in elektrische Energie ein Generator zum Einsatz. Abbildung 1 zeigt die wesentlichen Bestandteile eines Generators.

a)

• Beschreiben Sie mithilfe dieser Skizze den grundsätzlichen Aufbau eines Generators und berücksichtigen Sie dabei die in Abbildung 1 nummerierten Bauteile.

• Erläutern Sie qualitativ, also ohne mathematische Beziehungen zu verwenden, inwiefern die elektromagnetische Induktion für die Funktionsweise grundlegend ist.

Im Weiteren geht es zunächst um die mathematisierte Formulierung des Induktionsgesetzes.

In einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ befindet sich eine ebene Leiterschleife. Diese Leiterschleife besitzt bezüglich des homogenen Magnetfeldes eine effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$, die je nach Orientierung der Leiterschleife ein positives oder negatives Vorzeichen besitzen kann. Diese effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ wird von dem homogenen Magnetfeld orthogonal durchsetzt (siehe Abbildung 2).

Für eine Induktionsspannung $U_{\text{ind}}$ in einer Leiterschleife mit Windungszahl $n$ kann es zwei mögliche Ursachen geben, die durch die beiden folgenden Zusammenhänge beschrieben werden:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot B\cdot \frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t} \qquad\qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$$

In beiden Zusammenhängen bezeichnet $\Delta t$ ein kurzes Zeitintervall.

In der exakten Formulierung gehen im Grenzfall immer kürzer werdender Zeitintervalle bei beiden Zusammenhängen die zeitlichen Änderungsraten $\frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t}$ bzw. $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ in die jeweilige Ableitung nach der Zeit über. Die beiden Zusammenhänge lauten dann:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot B\cdot \dot{A}_{\text{eff}} \qquad\qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \dot{B}$$

b)

• Erläutern Sie, was die beiden angegebenen Zusammenhänge physikalisch aussagen.

• Begründen Sie, warum bei einem Generator wie in Abbildung 1 der Zusammenhang (2) nicht die Ursache der Induktionsspannung sein kann.

• Erklären Sie qualitativ, dass sich im Betrieb eines Generators wie in Abbildung 1 die effektive Fläche $A_{\text{eff}}$ der Leiterschleife fortwährend zeitlich ändert.

c)

Beim Betrieb eines typischen Generators wird die in Abbildung 3 dargestellte Generatorspannung erzeugt. Dabei bezeichnet $\hat{U}$ die Spannungsamplitude.

Für die Zeitabhängigkeit der effektiven Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ kann dabei der folgende Zusammenhang angenommen werden: $A_{\text{eff}}(t) = A_{\text{L}} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$.

Es ist dabei vorausgesetzt, dass die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}}$ zum Zeitpunkt $t = 0$ orthogonal zu den Feldlinien des homogenen Magnetfeldes steht und komplett von diesem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird. Die Größe $T$ bezeichnet dabei die Umdrehungsdauer der Leiterschleife.

Zeigen Sie, dass für die induzierte Spannung in diesem Fall folgt: $U(t) = \hat{U}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$ mit der Spannungsamplitude $\hat{U} = n\cdot B\cdot A_{\text{L}}\cdot \frac{2\pi}{T}$.

d)

In einem konkreten Generator dieses Typs beträgt die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}} = 50{,}0\text{ cm}^2$, deren Windungszahl $n = 300$, die Stärke des Magnetfeldes $B = 250\text{ mT}$, und die Leiterschleife dreht sich pro Minute 3000-mal im Magnetfeld.

Bestimmen Sie die Spannungsamplitude $\hat{U}$ dieses Generators im beschriebenen Betrieb.

Teilaufgabe 2: Elektrische Wirbelströme und ihre Anwendung beim Induktionsherd

Der Induktionsherd ist eine Alltagsanwendung von Wirbelströmen und hat Vorteile gegenüber Herdtypen mit direkter thermischer Energiezufuhr. Der schematische Aufbau eines Induktionsherdes ist in Abbildung 4 dargestellt.

Der wesentliche Bestandteil eines Induktionsherdes ist die Feldspule, in der ein sehr schnell wechselndes, sogenanntes „hochfrequentes“ Magnetfeld erzeugt wird. Dieses sich schnell ändernde Magnetfeld verursacht im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs Induktionseffekte, welche dort zu einer starken Erwärmung führen.

Mit folgender Messung wurde das hochfrequente Magnetfeld untersucht. Auf einem eingeschalteten Induktionskochfeld wurde eine Leiterschleife mit drei Windungen platziert und der zeitliche Verlauf der darin induzierten Spannung mit einem Oszilloskop gemessen (Versuchsaufbau siehe Abbildung 5).

a)

Begründen Sie qualitativ, dass bei der in Abbildung 5 gezeigten Messung allein der Zusammenhang (2) $U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \dot{B}$ (siehe Teilaufgabe 1b) für die im Oszilloskop gemessene Spannung verantwortlich ist.

Abbildung 6 zeigt die Einstellung der Zeitablenkung des Oszilloskops bei dieser Messung sowie den gemessenen zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung in der Leiterschleife.

Im Folgenden soll von dem in Abbildung 6 eingezeichneten vereinfachend angenommenen Verlauf der Induktionsspannung ausgegangen werden.

b)

• Bestimmen Sie anhand von Abbildung 6 die Periodendauer $T$, in der sich das hochfrequente Magnetfeld des Induktionskochfeldes periodisch ändert.

• Geben Sie die Frequenz $f$ der Induktionsspannung in $\text{kHz}$ an.

• Begründen Sie qualitativ, dass das Magnetfeld in der Feldspule dieses Induktionsherdes zeitlich so verläuft wie in Abbildung 7.

kHz

c)

Durch das sich schnell ändernde Magnetfeld in der Feldspule des Induktionsherdes werden Wirbelströme im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs hervorgerufen. Abbildung 8 zeigt eine Modellvorstellung für die Entstehung der Wirbelströme. Den Boden eines Induktionskochtopfs kann man sich aus vielen konzentrischen Kreisringen aufgebaut vorstellen. Jeder dieser Ringe ist eine kurzgeschlossene Leiterschleife.

Erklären Sie qualitativ, wie auf dem Induktionsherd in einem Kreisring des Topfbodens ein Kreisstrom, der sogenannte „Wirbelstrom“, entsteht.

d)

Für die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\text{ mm}$ in einem typischen Material für den Boden eines Induktionskochtopfs gilt:

$$P_{\text{Heiz}} = \left(0{,}22\,\frac{\text{m}}{\Omega}\right) \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \cdot r^3$$

Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Kreisrings (in $\text{m}$) und $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ die Änderungsrate des Magnetfeldes auf der Induktionsherdplatte.

• Zeigen Sie mithilfe einer Einheitenbetrachtung, dass die rechte Seite des angegebenen Zusammenhangs wirklich die Einheit einer Leistung ($1\text{ W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}$) hat.

Bei dem in Teilaufgabe 2a) untersuchten Induktionsherd beträgt die Änderungsrate des Magnetfeldes $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 320\,\frac{\text{T}}{\text{s}}$.

• Bestimmen Sie mit dem obigen Zusammenhang die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\text{ mm}$ mit $r = 10\text{ cm}$ in $\text{W}$.