Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analytische Geometrie

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · Teil A · Analytische Geometrie

Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1∣2∣5)A(1|2|5), B(2∣7∣8)B(2|7|8) und C(−3∣2∣4)C(-3|2|4) gegeben.

a

Weisen Sie nach, dass AA, BB und CC Eckpunkte eines Dreiecks sind.

b

Für jede reelle Zahl aa ist ein Punkt Da(a∣2+a2∣5+2)D_a(a \mid 2 + a\sqrt{2} \mid 5 + \sqrt{2}) gegeben. Bestimmen Sie alle Werte von aa, für die die Strecke von AA nach DaD_a die Länge 22 hat.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analytische Geometrie

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Weisen Sie nach, dass A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind.

Lösung: AB⃗=(153)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, AC⃗=(−40−1)\vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, AB⃗≠λ⋅AC⃗\vec{AB} \neq \lambda \cdot \vec{AC} für alle λ∈R\lambda \in \mathbb{R}

b Bestimmen Sie alle Werte von a, für die die Strecke von A nach Da die Länge 2 hat.

Lösung: a=−13∨a=1a = -\frac{1}{3} \lor a = 1

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