Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR

In einem kartesischen Koordinatensystem ist der Quader $ABCDPQRS$ mit $A(26|18|0)$, $B(18|24|0)$, $C(0|0|0)$, $D(8|-6|0)$ und $P(26|18|10)$ gegeben. $ABCD$ ist die Grundfläche des Quaders.

Der Quader beschreibt modellhaft den Grundkörper eines Kunstwerks aus massivem Beton, der auf einer horizontalen Fläche steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $0{,}1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt $G(17|8|10)$ der Deckfläche aus in Richtung des Punkts $H(20|10|4)$ der Seitenfläche $DAPS$ verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von $1{,}4\text{ m}$ so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt und in einer Höhe von $0{,}9\text{ m}$ über der Deckfläche endet. Ihr Durchmesser wird im Modell vernachlässigt.

a)

Zeigen Sie, dass die Seitenfläche $ABQP$ ein Quadrat ist.

[3 BE]

$|\vec{AB}| =$

und $|\vec{AP}| =$

b)

Stellen Sie den Quader in einem Koordinatensystem grafisch dar.

[3 BE]

e)

Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet.

[5 BE]

$E($

$\mid$

$\mid$

$)$

f)

Auf der Deckfläche des Grundkörpers steht ein Stahlzylinder mit einem Radius von $0{,}3\text{ m}$ und einer Höhe von $0{,}5\text{ m}$. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Zylinders ist im Modell der Punkt $M$. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stange den Stahlzylinder am Rand seiner Deckfläche berührt, wenn die Koordinaten von $M$ bekannt wären.

[4 BE]